Uma combinação de 0,250 \mathrm{~kg} de água a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, 0,400 \mathrm{~kg} de alumínio a 26,0^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{e} 0,100 kg de cobre a 100^{\circ} \mathrm{C} é misturada em um recipiente isolado e atinge equilíbrio térmico. Ignore qualquer transferência de energia para ou do recipiente. Qual é a temperatura final da mistura? (R: 23,6^{\circ} \mathrm{C} )

Passo 1

O enunciado dá uma mistura isolada (sem troca de calor com o recipiente nem com o ambiente) de três substâncias e pede a temperatura final de equilíbrio térmico. Dados fornecidos:
  • Massa de água: m_{\text{água}}=0,250\\ \mathrm{kg}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{i,água}}=20,0^\circ\mathrm{C}á.
  • Massa do alumínio: m_{\text{Al}}=0,400\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do alumínio: T_{\text{i,Al}}=26,0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa do cobre: m_{\text{Cu}}=0,100\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{\text{i,Cu}}=100^\circ\mathrm{C}.
  • Sistema isolado: a soma das trocas de calor internas é zero (energia térmica total conservada).
    O que se pede: determinar a temperatura final de equilíbrio T_f da mistura.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
  • Calor cedido/recebido por um corpo ao mudar de temperatura é dado por Q = m\,c\,\Delta T, onde:
    • Q é o calor (em joules, J);
    • m é a massa (em quilogramas, \mathrm{kg});
    • c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\cdot K)});
    • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou grau Celsius; a diferença é a mesma numericamente).
  • Interpretação de sinais: se um corpo esfria ( \Delta T<0) então Q<0 (cede calor); se um corpo aquece ( \Delta T>0) então Q>0 (recebe calor).
  • Para sistema isolado (sem perda para o exterior) vale a conservação da energia térmica: a soma algébrica dos calores trocados é zero: \sum Q = 0.
  • Valores de calor específico que usaremos (valores padrão):
    • Água: c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á.
    • Alumínio: c_{\text{Al}}=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Cobre: c_{\text{Cu}}=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Definição de variáveis e expressão das variações de temperatura:
  • Denotar T_f a temperatura final de equilíbrio (em {}^\circ\mathrm{C}).
  • Variações:
    • \Delta T_{\text{água}}=T_f-T_{\text{i,água}}=T_f-20,0^\circ\mathrm{C}áá.
    • \Delta T_{\text{Al}}=T_f-T_{\text{i,Al}}=T_f-26,0^\circ\mathrm{C}.
    • \Delta T_{\text{Cu}}=T_f-T_{\text{i,Cu}}=T_f-100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Escrever a equação de balanço de calor usando \sum Q=0:
Q_{\text{água}}+Q_{\text{Al}}+Q_{\text{Cu}}=0.á
Substituindo Q=m c \Delta T para cada corpo:
m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}(T_f-20,0)+m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}(T_f-26,0)+m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}(T_f-100)=0.áá
(As unidades são \mathrm{kg}, \mathrm{J/(kg\cdot K)} e ^\circ\mathrm{C}; diferenças de temperatura em ^\circ\mathrm{C} são numericamente iguais a \mathrm{K}, então a fórmula é consistente.)

Passo 5

Calcular os produtos m c de cada componente (passo a passo, para fazer na prova sem erro):
  • Para a água: m_{\text{água}}\,c_{\text{água}} = 0,250\cdot 4186 = 1046,5\\ \mathrm{J/K}.áá
  • Para o alumínio: m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}} = 0,400\cdot 900 = 360,0\\ \mathrm{J/K}.
  • Para o cobre: m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}} = 0,100\cdot 385 = 38,5\\ \mathrm{J/K}.
Agora substituir esses números na equação do Passo 4:
1046,5\,(T_f-20,0)+360,0\,(T_f-26,0)+38,5\,(T_f-100)=0.

Passo 6

Desenvolver a expressão e isolar T_f (faça as somas com calma na prova):
  • Expandindo os termos: 1046,5\,T_f -1046,5\cdot 20,0 +360,0\,T_f -360,0\cdot 26,0 +38,5\,T_f -38,5\cdot 100=0.
  • Calcular os produtos constantes: 1046,5\cdot 20,0 = 20930,\qquad 360,0\cdot 26,0 = 9360,\qquad 38,5\cdot 100 = 3850.
  • Somar os coeficientes de T_f: 1046,5+360,0+38,5 = 1445,0.
  • Somar os termos constantes: 20930 + 9360 + 3850 = 34140.
  • Portanto a equação fica 1445,0\,T_f -34140 = 0.
  • Isolando T_f: T_f = \frac{34140}{1445,0}.

Passo 7

Comentário rápido sobre cálculo e verificação (como checar rápido na prova):
  • A expressão \dfrac{34140}{1445,0} dá a temperatura final em graus Celsius.
  • Se for preciso, efetua-se a divisão para obter o valor numérico. Também é útil checar qualitativamente: a temperatura final deve ficar entre a temperatura mais baixa ( 20,0^\circ\mathrm{C}) e a mais alta ( 100^\circ\mathrm{C}), e bem próxima das temperaturas iniciais mais frias porque a água e o alumínio têm muito mais capacidade térmica que o pequeno bloco de cobre — portanto esperar algo perto de 23\text{–}24^\circ\mathrm{C} faz sentido.

Resposta

23,6^\circ\mathrm{C}

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