Encontre o centro de massa do fio dado pela curva C com a densidade f(x, y) :
C é o segmento de ( 1,0 ) ate ( 0,1 ), f(x, y)=y^{2};

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa do fio (barra) que é o segmento de (1,0) até (0,1) com densidade linear dada por f(x,y)=y^{2}.
Informações importantes fornecidas:
  • Extremidades do segmento: (1,0) e (0,1).
  • Densidade linear ao longo da curva: f(x,y)=y^{2}.
  • O que se quer calcular: o centro de massa do fio, ou seja as coordenadas \bar{x} e \bar{y} definidas por
\bar{x}=\frac{1}{M}\int_{C} x\,dm,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\int_{C} y\,dm,
onde M=\int_{C} dm é a massa total do fio e dm=f(x,y)\,ds é o elemento de massa (com ds o elemento de comprimento ao longo da curva).

Passo 2

Escolher uma parametrização simples do segmento e escrever as expressões usadas nos integrais.
Parametrização do segmento do ponto (1,0) para (0,1): usar o parâmetro t\in[0,1]
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(1-t,\;t).
Assim:
x(t)=1-t,\qquad y(t)=t,\qquad 0\le t\le 1.
Explicar ds e dm. O elemento de comprimento é
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Calcular as derivadas:
\frac{dx}{dt}=-1,\qquad \frac{dy}{dt}=1.
Portanto
ds=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\,dt=\sqrt{2}\,dt.
A densidade ao longo da curva é f(x,y)=y^{2}. Substituindo y(t)=t obtemos
f(t)=t^{2}.
Logo o elemento de massa é
dm=f\,ds=t^{2}\cdot\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\,t^{2}\,dt.
As fórmulas que vamos avaliar são então
M=\int_{C} dm=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,t^{2}\,dt,
\int_{C} x\,dm=\int_{0}^{1} x(t)\, \sqrt{2}\,t^{2}\,dt=\int_{0}^{1} (1-t)\,\sqrt{2}\,t^{2}\,dt,
\int_{C} y\,dm=\int_{0}^{1} y(t)\, \sqrt{2}\,t^{2}\,dt=\int_{0}^{1} t\,\sqrt{2}\,t^{2}\,dt=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,t^{3}\,dt.

Passo 3

Calcular a massa total M.
Escrever o integral:
M=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,t^{2}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{1}t^{2}\,dt.
Avaliar o integral \int_{0}^{1}t^{2}\,dt:
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Portanto
M=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Calcular o numerador para \bar{x}, isto é \int_{C} x\,dm.
Escrever o integral:
\int_{C} x\,dm=\int_{0}^{1}(1-t)\,\sqrt{2}\,t^{2}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{1}(t^{2}-t^{3})\,dt.
Avaliar os integrais básicos:
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}t^{3}\,dt=\frac{1}{4}.
Substituindo:
\int_{C} x\,dm=\sqrt{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{2}}{12}.

Passo 5

Calcular o numerador para \bar{y}, isto é \int_{C} y\,dm.
Escrever o integral:
\int_{C} y\,dm=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,t^{3}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{1}t^{3}\,dt.
Usar o resultado anterior \int_{0}^{1}t^{3}\,dt=\frac{1}{4}:
\int_{C} y\,dm=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 6

Calcular as coordenadas do centro de massa dividindo pelos resultados obtidos.
Para \bar{x}:
\bar{x}=\frac{1}{M}\int_{C} x\,dm=\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{12}}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{12}\cdot 3=\frac{1}{4}.
Para \bar{y}:
\bar{y}=\frac{1}{M}\int_{C} y\,dm=\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{4}\cdot 3=\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)

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