Encontre o centro de massa do fio dado pela curva
com a densidade
:
é o segmento de ( 1,0 ) ate ( 0,1 ),
;
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa do fio (barra) que é o segmento de
até
com densidade linear dada por
.
Informações importantes fornecidas:
- Extremidades do segmento:
e . - Densidade linear ao longo da curva:
. - O que se quer calcular: o centro de massa do fio, ou seja as coordenadas
e definidas por
onde
é a massa total do fio e
é o elemento de massa (com
o elemento de comprimento ao longo da curva).
Passo 2
Escolher uma parametrização simples do segmento e escrever as expressões usadas nos integrais.
Parametrização do segmento do ponto
para
: usar o parâmetro
Assim:
Explicar
e
. O elemento de comprimento é
Calcular as derivadas:
Portanto
A densidade ao longo da curva é
. Substituindo
obtemos
Logo o elemento de massa é
As fórmulas que vamos avaliar são então
Passo 3
Calcular a massa total
.
Escrever o integral:
Avaliar o integral
:
Portanto
Passo 4
Calcular o numerador para
, isto é
.
Escrever o integral:
Avaliar os integrais básicos:
Substituindo:
Passo 5
Calcular o numerador para
, isto é
.
Escrever o integral:
Usar o resultado anterior
:
Passo 6
Calcular as coordenadas do centro de massa dividindo pelos resultados obtidos.
Para
:
Para
: