14- Uma placa metálica, com área 0,15 \mathrm{~m}^{2}, está amarrada a uma massa de 8 g por um fio que passa por uma polia ideal. Entre a placa e a superfície horizontal há uma película lubrificante com 0,3 \mathrm{~mm} de espessura. Quando o sistema fica livre observa-se que a placa desloca-se para a direita com velocidade constante de 0,085 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Achar o coeficiente de viscosidade do lubrificante.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente de viscosidade do lubrificante. Informações dadas:
  • área da placa: A=0,15\\ \mathrm{m}^2.
  • massa pendurada: m=8\\ \mathrm{g}.
  • espessura da película lubrificante: d=0,3\\ \mathrm{mm}.
  • velocidade constante da placa: v=0,085\\ \mathrm{m/s}.
  • a polia é ideal (sem atrito) e o fio transmite a tensão da massa à placa.
    O que se deve achar: o coeficiente de viscosidade \eta do lubrificante.

Passo 2

Entendendo as forças e a condição de movimento:
  • A massa pendurada gera uma força peso vertical para baixo m g. Como a polia é ideal, a tensão no fio que puxa a placa para a direita tem magnitude igual ao peso da massa, isto é T=m g.
  • A placa move-se com velocidade constante. Isso significa que a soma das forças horizontais sobre a placa é nula: a força de tração para a direita é balanceada pela força de atrito viscoso para a esquerda.
  • Portanto, na situação de regime (velocidade constante) vale o equilíbrio:
T = F_{\text{visc}}.

Passo 3

Lei da viscosidade (explicação didática):
  • Para um fluido newtoniano entre duas placas planas paralelas separadas por distância d, quando uma placa desliza com velocidade relativa v em relação à outra, forma-se um gradiente de velocidade aproximadamente uniforme no fluido, de modo que
\frac{dv}{dy}\approx\frac{v}{d},
onde y é a coordenada perpendicular às placas.
  • A tensão de cisalhamento (força por unidade de área) no fluido é dada pela lei de Newton para viscosidade:
\tau=\eta\frac{dv}{dy},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (unidade \mathrm{Pa}), e \eta é o coeficiente de viscosidade (unidade \mathrm{Pa\cdot s}).
  • A força viscosa total sobre a placa é a tensão vezes a área:
F_{\text{visc}}=\tau A=\eta A\frac{v}{d}.
  • Aqui cada variável significa:
    • \eta: coeficiente de viscosidade que queremos encontrar.
    • A: área da placa que recebe a força viscosa.
    • v: velocidade relativa entre as superfícies.
    • d: espessura da camada de fluido (distância entre superfícies).

Passo 4

Escrevendo a equação de equilíbrio e isolando \eta:
  • Do Passo 2 temos T=m g e do Passo 3 temos F_{\text{visc}}=\eta A\frac{v}{d}.
  • Igualando as duas forças:
m g = \eta A\frac{v}{d}.
  • Isolando \eta:
\eta = \frac{m g d}{A v}.

Passo 5

Conversão de unidades e colocação dos números (tudo em SI):
  • Converter massa: m=8\\ \mathrm{g}=0{,}008\\ \mathrm{kg}.
  • Converter espessura: d=0{,}3\\ \mathrm{mm}=0{,}0003\\ \mathrm{m}.
  • Área e velocidade já estão em SI: A=0{,}15\\ \mathrm{m}^2, v=0{,}085\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade: usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Substituindo na fórmula e calculando passo a passo:
  • Calcular o numerador m g d:
m g d = 0{,}008\times 9{,}81\times 0{,}0003.
Primeiro 0{,}008\times 9{,}81 = 0{,}07848.
Depois 0{,}07848\times 0{,}0003 = 0{,}000023544.
  • Calcular o denominador A v:
A v = 0{,}15\times 0{,}085 = 0{,}01275.
  • Portanto
\eta = \frac{0{,}000023544}{0{,}01275}\approx 0{,}001846\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Arredondamento final, verificação de ordens de grandeza e comentário:
  • Arredondando com três algarismos significativos:
\eta \approx 1{,}85\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Verificação rápida de unidade: o numerador tem unidade \mathrm{kg\cdot m/s^2 \cdot m = kg\cdot m^2/s^2} e o denominador \mathrm{m^2\cdot m/s = m^3/s}; dividindo obtém-se \mathrm{kg/(m\cdot s)}, que é equivalente a \mathrm{Pa\cdot s}. Está consistente.
  • Observação motivadora: esse valor é da mesma ordem de grandeza da viscosidade da água (aprox. 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}), o que faz sentido para um lubrificante leve.

Resposta

\eta=1{,}85\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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