Combinação Reta-Plano e Distância Seja a reta r definida por X=(2,0,0)+\lambda(1,1,0). Determine a equação geral do plano \pi: a x+b y+c z=0 (que passa pela origem) que satisfaz simultaneamente as seguintes condições:
(a) O plano \pi é ortogonal ao vetor \vec{v}=(1,0,1).
(b) O ângulo entre a reta r e o plano \pi é \theta=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right).

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Queremos a equação geral do plano \pi na forma \;a x + b y + c z = 0\; (ou seja, o plano passa pela origem).
  • Condições impostas:
    (a) o plano \pi é ortogonal ao vetor \vec{v}=(1,0,1);
    (b) o ângulo entre a reta r e o plano \pi é \displaystyle \theta=\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
  • Dados extraídos do enunciado:
    • A reta r tem representação X=(2,0,0)+\lambda(1,1,0). Portanto o vetor diretor da reta é \vec{u}=(1,1,0).
    • O vetor dado é \vec{v}=(1,0,1).
    • A equação do plano é \;a x + b y + c z = 0\; com vetor normal \vec{n}=(a,b,c), que não pode ser o vetor nulo.

Passo 2

Interpretar corretamente a condição (a) e testar a interpretação que não gera contradição.
  • Há ambiguidade linguística: "plano é ortogonal ao vetor \vec{v}" pode ser lido de duas maneiras:
    1. \vec{v} é normal ao plano (isto é, \vec{n} é paralelo a \vec{v});
    2. o vetor normal \vec{n} é ortogonal a \vec{v} (isto é, \vec{n}\cdot\vec{v}=0), o que significa que o plano contém direções paralelas a \vec{v}.
  • Vamos verificar a possibilidade 1 rapidamente: se \vec{n} é paralelo a \vec{v} então \vec{n}=k(1,0,1). Usando a fórmula que vamos justificar no Passo 3 (para o ângulo entre reta e plano), obtém-se \sin\theta=\tfrac{1}{2}, ou seja \theta=30^\circ, o que contradiz \sin\theta=1/\sqrt{6}. Portanto a interpretação 1 não satisfaz (b) e não há solução consistente com ela.
  • Conclusão: a interpretação que produz respostas compatíveis com (b) é a 2. Assim adotamos a condição \vec{n}\cdot\vec{v}=0.

Passo 3

Expressar matematicamente a condição (a) adotada e revisar conceitos necessários (produto escalar e ângulo entre reta e plano).
  • Produto escalar: para dois vetores \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
    \vec{p}\cdot\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3,
    e geometricamente \vec{p}\cdot\vec{q}= \|\vec{p}\|\,\|\vec{q}\| \cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre \vec{p} e \vec{q}.
  • Vetor normal do plano: \vec{n}=(a,b,c).
  • A condição (a) (interpretada como \vec{n} ortogonal a \vec{v}) dá:
    \vec{n}\cdot\vec{v}=a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 = a + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -a.
    Assim podemos escrever \vec{n}=(a,b,-a).
  • Ângulo entre reta e plano — fórmula e justificativa:
    • Seja \vec{u} o vetor diretor da reta (aqui \vec{u}=(1,1,0)). O ângulo entre a reta e o plano, que chamamos de \theta, é complementar ao ângulo entre \vec{u} e o normal \vec{n}. Se \beta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{n}, então \beta = 90^\circ - \theta.
    • Da definição do produto escalar, \cos\beta = \dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{n}\|\,\|\vec{u}\|}.
    • Como \cos\beta = \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta, obtemos a fórmula útil: \sin\theta = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{n}\|\,\|\vec{u}\|}.
    • Iremos usar essa fórmula com \vec{u}=(1,1,0) e \vec{n}=(a,b,-a).

Passo 4

Aplicar a fórmula do ângulo entre reta e plano e obter a equação que relaciona a e b.
  • Calcule \vec{n}\cdot\vec{u}: \vec{n}\cdot\vec{u} = a\cdot 1 + b\cdot 1 + (-a)\cdot 0 = a + b.
  • Normas: \|\vec{u}\| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2},
\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2 + b^2}.
  • Pela fórmula do passo anterior, \sin\theta = \frac{|a+b|}{\sqrt{2a^2 + b^2}\,\sqrt{2}}.
  • Substituindo \sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{6}}, \frac{|a+b|}{\sqrt{2}\sqrt{2a^2 + b^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.Eleve ao quadrado para eliminar o valor absoluto e raízes: \frac{(a+b)^2}{2(2a^2 + b^2)} = \frac{1}{6}.Multiplicando ambos os lados por 2(2a^2+b^2): 6(a+b)^2 = 2(2a^2 + b^2).Expandindo e simplificando: 6(a^2 + 2ab + b^2) = 4a^2 + 2b^2
6a^2 + 12ab + 6b^2 = 4a^2 + 2b^2
2a^2 + 12ab + 4b^2 = 0
Dividindo por 2:
a^2 + 6ab + 2b^2 = 0.

Passo 5

Resolver a relação entre a e b e obter as normais (familias) de planos.
  • Para encontrar proporções entre a e b, suponha b\neq 0 (se b=0 então a equação a^2+6ab+2b^2=0 força a=0, o que daria vetor normal nulo, impossível). Defina t=\dfrac{a}{b}.
  • Dividindo a equação por b^2 obtemos: t^2 + 6t + 2 = 0.
  • Resolver a quadrática pelo fórmula de Bhaskara: t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{2} = -3 \pm \sqrt{7}.
  • Assim existem duas direções possíveis para \vec{n}: \vec{n} \propto \bigl(t,\,1,\,-t\bigr),\qquad t\in\{-3+\sqrt{7},\,-3-\sqrt{7}\}.Escolhendo b=1 para obter forma explícita das equações do plano, temos duas opções para a: a = -3 + \sqrt{7}\quad\text{ou}\quad a = -3 - \sqrt{7}.

Passo 6

Escrever explicitamente as equações dos planos e checar (rápida verificação).
  • Para a = -3 + \sqrt{7} e b=1, c=-a = 3 - \sqrt{7}. A equação do plano fica (-3+\sqrt{7})x + y + (3-\sqrt{7})z = 0.Podemos reescrever de forma mais simétrica: (-3+\sqrt{7})x + y - (-3+\sqrt{7})z = 0,que é a mesma expressão porque c=-a.
  • Para a = -3 - \sqrt{7} e b=1, c=-a = 3 + \sqrt{7}. A equação do plano fica (-3-\sqrt{7})x + y + (3+\sqrt{7})z = 0,ou (-3-\sqrt{7})x + y - (-3-\sqrt{7})z = 0.
  • Uma verificação rápida (numérica) mostra que com qualquer uma das duas normais \vec{n} a relação \dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{n}\|\,\|\vec{u}\|} dá aproximadamente 1/\sqrt{6}, confirmando as soluções.

Resposta

(-3+\sqrt{7})x + y + (3-\sqrt{7})z = 0
(-3-\sqrt{7})x + y + (3+\sqrt{7})z = 0

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