Combinação Reta-Plano e Distância Seja a reta
definida por
. Determine a equação geral do plano
(que passa pela origem) que satisfaz simultaneamente as seguintes condições:
(a) O plano
é ortogonal ao vetor
.
(b) O ângulo entre a reta
e o plano
é
.
(a) O plano
(b) O ângulo entre a reta
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
-
Queremos a equação geral do plano
na forma (ou seja, o plano passa pela origem). -
Condições impostas:
(a) o planoé ortogonal ao vetor ;
(b) o ângulo entre a retae o plano é . -
Dados extraídos do enunciado:
- A reta
tem representação . Portanto o vetor diretor da reta é . - O vetor dado é
. - A equação do plano é
com vetor normal , que não pode ser o vetor nulo.
- A reta
Passo 2
Interpretar corretamente a condição (a) e testar a interpretação que não gera contradição.
- Há ambiguidade linguística: "plano é ortogonal ao vetor
" pode ser lido de duas maneiras: -
é normal ao plano (isto é, é paralelo a ); - o vetor normal
é ortogonal a (isto é, ), o que significa que o plano contém direções paralelas a .
-
- Vamos verificar a possibilidade 1 rapidamente: se
é paralelo a então . Usando a fórmula que vamos justificar no Passo 3 (para o ângulo entre reta e plano), obtém-se , ou seja , o que contradiz . Portanto a interpretação 1 não satisfaz (b) e não há solução consistente com ela. - Conclusão: a interpretação que produz respostas compatíveis com (b) é a 2. Assim adotamos a condição
Passo 3
Expressar matematicamente a condição (a) adotada e revisar conceitos necessários (produto escalar e ângulo entre reta e plano).
-
Produto escalar: para dois vetores
e , e geometricamente, onde é o ângulo entre e . -
Vetor normal do plano:
. -
A condição (a) (interpretada como
ortogonal a ) dá: Assim podemos escrever. -
Ângulo entre reta e plano — fórmula e justificativa:
- Seja
o vetor diretor da reta (aqui ). O ângulo entre a reta e o plano, que chamamos de , é complementar ao ângulo entre e o normal . Se é o ângulo entre e , então . - Da definição do produto escalar,
. - Como
, obtemos a fórmula útil: - Iremos usar essa fórmula com
e .
- Seja
Passo 4
Aplicar a fórmula do ângulo entre reta e plano e obter a equação que relaciona
e
.
- Calcule
: - Normas:
- Pela fórmula do passo anterior,
- Substituindo
, Eleve ao quadrado para eliminar o valor absoluto e raízes: Multiplicando ambos os lados por : Expandindo e simplificando:
Dividindo por
:
Passo 5
Resolver a relação entre
e
e obter as normais (familias) de planos.
- Para encontrar proporções entre
e , suponha (se então a equação força , o que daria vetor normal nulo, impossível). Defina . - Dividindo a equação por
obtemos: - Resolver a quadrática pelo fórmula de Bhaskara:
- Assim existem duas direções possíveis para
: Escolhendo para obter forma explícita das equações do plano, temos duas opções para :
Passo 6
Escrever explicitamente as equações dos planos e checar (rápida verificação).
- Para
e , . A equação do plano fica Podemos reescrever de forma mais simétrica: que é a mesma expressão porque . - Para
e , . A equação do plano fica ou - Uma verificação rápida (numérica) mostra que com qualquer uma das duas normais
a relação dá aproximadamente , confirmando as soluções.