Considere \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 3 & -1 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0\end{array}\right]. Determine um conjunto gerador de S, a base e dimensão de S. Qual o Significado Geométrico?
Onde \mathrm{S}=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \subset \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear homogêneo
\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Define-se o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 \;\middle|\; \begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}\right\}.
Perguntas que devemos responder:
  1. Determinar um conjunto gerador de S.
  2. Determinar uma base de S.
  3. Determinar a dimensão de S.
  4. Dar o significado geométrico de S.
As informações relevantes dadas são as duas equações lineares implícitas pela multiplicação matricial (essas serão usadas para achar as relações entre x,y,z).]

Passo 2

Vou resolver o sistema para encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as duas equações. Antes, um pouco de teoria bem prática: o conjunto S é o núcleo (nullspace) da matriz A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]3&-1&4\end{pmatrix}. O núcleo é o conjunto de soluções do sistema homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0}. Para encontrá-lo normalmente fazemos eliminação (redução por linhas) e expressamos as variáveis livres como parâmetros; cada parâmetro gera um vetor que gera o espaço solução. Uma base do núcleo é um conjunto de vetores linearmente independentes cujo espaço linear (span) é exatamente o núcleo.]

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (o vetor zero à direita é só para visualização; como é homogêneo, a coluna à direita será sempre zero):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminamos o x da segunda linha usando a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Calculando:
segunda linha: (3,-1,4)-3(1,2,-1)=(3,-1,4)-(3,6,-3)=(0,-7,7).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -7 & 7 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

A segunda linha dá a equação
-7y+7z=0.
Dividindo por -7 (ou reescrevendo), obtemos
y=z.

Passo 6

Agora usemos a primeira linha, que dá
x+2y-z=0.
Substituindo y=z obtemos
x+2z-z=0 \quad\Rightarrow\quad x+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-z.

Passo 7

Portanto todas as soluções são da forma
(x,y,z)=(-z,\;z,\;z)=z(-1,1,1).
Tomando o parâmetro t=z\in\mathbb{R}, escrevemos
S=\{t(-1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\}.
Isto já responde qual é um conjunto gerador: o vetor (-1,1,1) gera S. Para checar rapidamente: com t=1 temos (-1,1,1) e, testando nas equações originais,
1)\; -1 + 2\cdot 1 -1 =0,\qquad 2)\; 3(-1)-1+4(1)= -3-1+4=0,
logo satisfazem; qualquer múltiplo também satisfaz por linearidade.

Passo 8

Sobre base e linearidade: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente, porque se c(-1,1,1)= (0,0,0) então c=0. Assim \{(-1,1,1)\} é um conjunto gerador e é linearmente independente, portanto é uma base de S.

Passo 9

Dimensão: a dimensão de S é o número de vetores na base, logo
\dim S = 1.

Passo 10

Significado geométrico: S é uma reta (um subespaço unidimensional) que passa pela origem em \mathbb{R}^3, na direção do vetor (-1,1,1). Outra interpretação: S é a interseção das duas retas/planos definidos pelas equações das linhas da matriz; especificamente é a interseção das duas planificações (planos) dadas por x+2y-z=0 e 3x-y+4z=0, que aqui intersectam numa reta que passa pela origem.

Resposta

Conjunto gerador de S: \{(-1,1,1)\}.\n
Base de S: \{(-1,1,1)\}.\n
Dimensão de S: \dim S = 1.\n
Significado geométrico: S é uma reta através da origem em \mathbb{R}^3 na direção do vetor (-1,1,1) (ou seja, a interseção dos planos x+2y-z=0 e 3x-y+4z=0).

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