Considere \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 3 & -1 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0\end{array}\right]. Determine um conjunto gerador de S, a base e dimensão de S. Qual o Significado Geométrico?
Onde \mathrm{S}=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \subset \mathbb{R}^{3}.
As informações relevantes dadas são as duas equações lineares implícitas pela multiplicação matricial (essas serão usadas para achar as relações entre x,y,z).]
Passo 2
Vou resolver o sistema para encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as duas equações. Antes, um pouco de teoria bem prática: o conjunto S é o núcleo (nullspace) da matriz A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]3&-1&4\end{pmatrix}. O núcleo é o conjunto de soluções do sistema homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0}. Para encontrá-lo normalmente fazemos eliminação (redução por linhas) e expressamos as variáveis livres como parâmetros; cada parâmetro gera um vetor que gera o espaço solução. Uma base do núcleo é um conjunto de vetores linearmente independentes cujo espaço linear (span) é exatamente o núcleo.]
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema (o vetor zero à direita é só para visualização; como é homogêneo, a coluna à direita será sempre zero):
Eliminamos o x da segunda linha usando a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Calculando:
segunda linha: (3,-1,4)-3(1,2,-1)=(3,-1,4)-(3,6,-3)=(0,-7,7).
A matriz fica
Isto já responde qual é um conjunto gerador: o vetor (-1,1,1) gera S. Para checar rapidamente: com t=1 temos (-1,1,1) e, testando nas equações originais,
logo satisfazem; qualquer múltiplo também satisfaz por linearidade.
Passo 8
Sobre base e linearidade: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente, porque se c(-1,1,1)= (0,0,0) então c=0. Assim \{(-1,1,1)\} é um conjunto gerador e é linearmente independente, portanto é uma base de S.
Passo 9
Dimensão: a dimensão de S é o número de vetores na base, logo
\dim S = 1.
Passo 10
Significado geométrico: S é uma reta (um subespaço unidimensional) que passa pela origem em \mathbb{R}^3, na direção do vetor (-1,1,1). Outra interpretação: S é a interseção das duas retas/planos definidos pelas equações das linhas da matriz; especificamente é a interseção das duas planificações (planos) dadas por x+2y-z=0 e 3x-y+4z=0, que aqui intersectam numa reta que passa pela origem.
Resposta
Conjunto gerador de S: \{(-1,1,1)\}.\n
Base de S: \{(-1,1,1)\}.\n
Dimensão de S: \dim S = 1.\n
Significado geométrico: S é uma reta através da origem em \mathbb{R}^3 na direção do vetor (-1,1,1) (ou seja, a interseção dos planos x+2y-z=0 e 3x-y+4z=0).