Lugar Geométrico e Ângulo Mínimo: Seja o ponto P=(1,0,0) e o plano \pi: x=0 (plano y z). Considere uma reta r que passa por P e intersecta o plano \pi em um ponto Q.
(a) Se o ângulo entre a reta r e o vetor diretor do eixo y(\vec{j}=(0,1,0)) é \frac{\pi}{3}, determine a equação do lugar geométrico dos pontos Q no plano y z.
(b) Encontre a equação cartesiana deste lugar geométrico no plano y z (assumindo x=0 ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos Q no plano y z (plano \pi) tais que a reta r que liga P a Q forma ângulo \pi/3 com o vetor diretor do eixo y, \vec{j}.
(b) Escrever a equação cartesiana desse lugar geométrico no plano y z assumindo x=0.
Informações dadas e notação que vamos usar:
  • O ponto P é P=(1,0,0).
  • O plano \pi é dado por x=0 (ou seja, todos os pontos têm forma Q=(0,y,z)).
  • O vetor diretor do eixo y é \vec{j}=(0,1,0).
  • O ângulo pedido entre a reta r (que passa por P e Q) e \vec{j} é \theta=\pi/3.
  • Vamos representar um ponto genérico do plano por Q=(0,y,z) e o vetor que vai de P a Q por \overrightarrow{PQ}.

Passo 2

Definimos o vetor \overrightarrow{PQ}. Pela subtração de coordenadas:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0-1,\;y-0,\;z-0)=(-1,\;y,\;z).
Agora usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Se \vec{a} e \vec{b} são vetores, então o cosseno do ângulo entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|},
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor. Vou explicar cada parte: o produto escalar de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. A norma de \vec{a} é \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.

Passo 3

Aplicamos isso aos vetores \overrightarrow{PQ}=(-1,y,z) e \vec{j}=(0,1,0).
Calculamos o produto escalar:
\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{j}=(-1)\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0 = y.
As normas são
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{(-1)^2+y^2+z^2}=\sqrt{1+y^2+z^2}, \qquad \|\vec{j}\|=1.

Passo 4

Agora impondo a condição de ângulo \theta=\pi/3, temos \cos\theta=\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}. Pela fórmula do cosseno:
\frac{1}{2}=\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{j}}{\|\overrightarrow{PQ}\|\;\|\vec{j}\|}=\frac{y}{\sqrt{1+y^2+z^2}\cdot 1}=\frac{y}{\sqrt{1+y^2+z^2}}.
Portanto a condição que define o lugar geométrico é
y=\frac{1}{2}\sqrt{1+y^2+z^2}.

Passo 5

Resolvemos a equação obtida. Como o lado direito é uma raiz quadrada não-negativa, o lado esquerdo y deve ser não-negativo; portanto teremos a restrição y\ge 0. (Além disso, y=0 não satisfaz a igualdade porque a raiz seria positiva; logo na verdade y>0.) Agora elevamos ao quadrado dos dois lados — ao fazer isso devemos lembrar da restrição de sinal já mencionada — e resolvemos algébrica e passo a passo:
y^2=\frac{1}{4}(1+y^2+z^2).
Multiplicando por 4:
4y^2=1+y^2+z^2.
Passando termos:
4y^2 - y^2 - z^2 = 1
3y^2 - z^2 = 1.
Então a relação algébrica entre y e z é
3y^2 - z^2 = 1,
com a restrição adicional
y>0,
decorrente do sinal de \cos\frac{\pi}{3}=+\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação geométrica e forma cartesiana no plano y z: a equação
3y^2 - z^2 = 1
é a equação de uma hipérbole no plano y z. Como exigimos y>0, o lugar geométrico é a ramificação superior dessa hipérbole (a parte com coordenada y positiva). Se quisermos dar a descrição completa no espaço, lembramos que x=0 para todos os pontos do plano \pi, então o lugar em coordenadas espaciais é dado por x=0 e 3y^2-z^2=1 com y>0.

Passo 7

Resumo final e dicas rápidas para a prova (bem curtinhas):
  • Use sempre a fórmula do cosseno com produto escalar para ligar condições angulares a relações entre coordenadas.
  • Ao obter uma raiz igual a uma expressão, pense no sinal antes de elevar ao quadrado (pode criar soluções extranhas).
  • Aqui o passo crítico foi transformar \displaystyle \frac{y}{\sqrt{1+y^2+z^2}}=\frac{1}{2} em uma equação quadrática clara e, em seguida, perceber a restrição y>0.

Resposta

(a) Lugar geométrico em coordenadas do plano y z: \;3y^2 - z^2 = 1\; com \;y>0.
(b) Equação cartesiana no plano y z (assumindo x=0): \;3y^2 - z^2 = 1 (e x=0, com \;y>0).

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