Uma combinação série de R e C está ligada em série com uma resistência de 15 ohms. Aplicando-se ao conjunto uma fonte de 120 volts, 60 Hz , as tensões eficazes nos terminais do conjunto R C e do resistor puro são, respectivamente, 87,3 e 63,6 volts. Determinar R e C.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma fonte senoidal de 120 V (rms) a 60 Hz alimentando dois componentes em série:
  1. um resistor puro de 15 Ω,
  2. um “bloco” R–C (resistor R em série com um capacitor C).
Mediram-se as tensões rms:
  • Sobre o bloco R–C: 87,3 V
  • Sobre o resistor de 15 Ω: 63,6 V
Conteúdo da matéria: circuitos AC com impedâncias, uso de fasores e Lei de Ohm generalizada . Vamos precisar:
  • Calcular corrente pelo resistor de 15 Ω,
  • Relacionar tensões e impedâncias (módulos),
  • Montar equações para e ,
  • Encontrar via .

Passo 2

Primeiro, a corrente I ;=;V1515 ;=;63,615approx 4,24;A que passa no resistor de 15 Ω é
Isso vale porque em série a corrente é a mesma em todo o circuito.

Passo 3

A impedância do bloco R–C em módulo é dada por
|ZRC| ;=;VRCI ;=;87,34,24 ;approx;20,59;Omega
Mas também sabemos que, para R em série com capacitância,
|ZRC| ;=;raizR^2 + XC^2,
onde .

Passo 4

Agora, a impedância total do circuito é
Zrm tot ;=;15 + ZRC Longrightarrow |Zrm tot| ;=;raiz(15+R)^2 + XC^2
E pela Lei de Ohm geral em AC temos
|Zrm tot| ;=;Vrm totalI ;=;1204,24 ;approx;28,30;Omega

Passo 5

Montamos duas equações:
  1. (R+15)^2 + XC^2 ;-;(R^2+XC^2) =28,30^2 - 20,59^2
  2. 30R + 225 = 28,30^2 - 20,59^2 approx 801 - 424 = 377 ;Longrightarrow; 30R = 377 - 225 = 152 ;Longrightarrow; R approx 5,07;Omega
Para eliminar , elevamos ao quadrado e subtraímos:
Isso dá

Passo 6

Com XC^2 = 20,59^2 - 5,07^2 approx 424,0 - 25,7 = 398,3 ;Longrightarrow; XC approx raiz398,3 = 19,96;Omega em mãos, voltamos em C = 1omega,XC = 12picdot60cdot19,96 approx 1,33times10^-4;F = 133;mu F :
E como com ,

Resposta

R ≈ 5,07 Ω
C ≈ 133 μF

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