Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá três combinações “operador/função” e pede duas coisas para cada uma: (i) dizer se a aplicação do operador sobre a função resulta numa equação de autovalor; (ii) quando for autovalor, identificar qual é o autovalor da autofunção. As três combinações são:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 2
O que é uma equação de autovalor aqui? Seja um operador linear
que age sobre funções e seja
uma função. Dizemos que
é autofunção de
com autovalor
se vale a igualdade
Explicando cada peça:
é a função resultante de aplicar o operador
em
;
é um número (escalar) que não pode depender de
. Ou seja, para ser autovalor, a aplicação do operador sobre
deve dar exatamente a mesma função
multiplicada por uma constante.
Passo 3
Vou lembrar duas regras de cálculo que vamos usar (com explicação curta):
- Regra da cadeia: se
então . Em particular, para exponencial, . - Derivada de cosseno:
. Aplicando a derivada novamente obtemos . Aqui é uma constante; o resultado mostra que a segunda derivada de é um múltiplo escalar da própria — logo costuma dar autovalor.
Passo 4
Calculamos passo a passo a segunda derivada de
.
Primeira derivada:
porque aplicamos a regra da cadeia com
.
Segunda derivada:
Observação: usei a fórmula geral
com
, pois
.
Conclusão da parte a: a aplicação do operador
sobre
dá uma constante multiplicando a mesma função. Portanto é uma equação de autovalor e o autovalor é
.
Passo 5
Calculamos a derivada de
usando regra da cadeia para exponenciais:
Aqui o fator
é uma constante (não depende de
). Assim a derivada é exatamente
vezes a própria função. Conclusão da parte b: é equação de autovalor com autovalor
.
Passo 6
Calculamos a derivada de
com a regra da cadeia:
Repare que o fator multiplicativo obtido é
, que depende de
. Para ser um autovalor
este fator teria de ser uma constante independente de
. Como
não é constante, a expressão acima não pode ser escrita na forma
com
fixo. Portanto não é uma equação de autovalor para o operador
com essa função.
Passo 7
Resumo das razões: nas partes (a) e (b) a derivação produziu um múltiplo constante da função original — isso é exatamente a condição de autovalor. Na parte (c) o fator é função de
, então não é autovalor.
Resposta
a) Sim — autovalor
b) Sim — autovalor
c) Não — não é equação de autovalor (o fator depende de
).
b) Sim — autovalor
c) Não — não é equação de autovalor (o fator