Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?
a) \frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\cos \frac{x}{4}\right)
b) \frac{d}{d x}\left(e^{-4 x}\right)
c) \frac{d}{d x}\left(e^{-4 x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá três combinações “operador/função” e pede duas coisas para cada uma: (i) dizer se a aplicação do operador sobre a função resulta numa equação de autovalor; (ii) quando for autovalor, identificar qual é o autovalor da autofunção. As três combinações são:
a) \displaystyle \frac{d^{2}}{d x^{2}}\biggl(\cos\frac{x}{4}\biggr)
b) \displaystyle \frac{d}{d x}\bigl(e^{-4x}\bigr)
c) \displaystyle \frac{d}{d x}\bigl(e^{-4x^{2}}\bigr)

Passo 2

O que é uma equação de autovalor aqui? Seja um operador linear L que age sobre funções e seja f(x) uma função. Dizemos que f é autofunção de L com autovalor \lambda se vale a igualdade
L[f](x)=\lambda\,f(x).
Explicando cada peça: L[f](x) é a função resultante de aplicar o operador L em f; \lambda é um número (escalar) que não pode depender de x. Ou seja, para ser autovalor, a aplicação do operador sobre f deve dar exatamente a mesma função f multiplicada por uma constante.

Passo 3

Vou lembrar duas regras de cálculo que vamos usar (com explicação curta):
  • Regra da cadeia: se g(x)=h(u(x)) então g'(x)=h'(u(x))\,u'(x). Em particular, para exponencial, \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
  • Derivada de cosseno: \dfrac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx). Aplicando a derivada novamente obtemos \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\cos(kx)=-k^{2}\cos(kx). Aqui k é uma constante; o resultado mostra que a segunda derivada de \cos(kx) é um múltiplo escalar da própria \cos(kx) — logo costuma dar autovalor.

Passo 4

Calculamos passo a passo a segunda derivada de \cos\frac{x}{4}.
Primeira derivada:
\frac{d}{dx}\left(\cos\frac{x}{4}\right) = -\frac{1}{4}\sin\frac{x}{4},
porque aplicamos a regra da cadeia com k=\frac{1}{4}.
Segunda derivada:
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\cos\frac{x}{4}\right) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}\sin\frac{x}{4}\right) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cos\frac{x}{4} = -\frac{1}{16}\cos\frac{x}{4}.
Observação: usei a fórmula geral \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\cos(kx)=-k^{2}\cos(kx) com k=\tfrac{1}{4}, pois -k^{2}=-\tfrac{1}{16}.
Conclusão da parte a: a aplicação do operador \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} sobre \cos\frac{x}{4} dá uma constante multiplicando a mesma função. Portanto é uma equação de autovalor e o autovalor é \lambda=-\tfrac{1}{16}.

Passo 5

Calculamos a derivada de e^{-4x} usando regra da cadeia para exponenciais:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x}\bigr) = (-4)\,e^{-4x}.
Aqui o fator -4 é uma constante (não depende de x). Assim a derivada é exatamente -4 vezes a própria função. Conclusão da parte b: é equação de autovalor com autovalor \lambda=-4.

Passo 6

Calculamos a derivada de e^{-4x^{2}} com a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x^{2}}\bigr) = \bigl(-8x\bigr)\,e^{-4x^{2}}.
Repare que o fator multiplicativo obtido é -8x, que depende de x. Para ser um autovalor \lambda este fator teria de ser uma constante independente de x. Como -8x não é constante, a expressão acima não pode ser escrita na forma \lambda\,e^{-4x^{2}} com \lambda fixo. Portanto não é uma equação de autovalor para o operador \dfrac{d}{dx} com essa função.

Passo 7

Resumo das razões: nas partes (a) e (b) a derivação produziu um múltiplo constante da função original — isso é exatamente a condição de autovalor. Na parte (c) o fator é função de x, então não é autovalor.

Resposta

a) Sim — autovalor \displaystyle -\frac{1}{16}
b) Sim — autovalor \displaystyle -4
c) Não — não é equação de autovalor (o fator -8x depende de x).

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