Calcule os comutadores
a)
\left[H, p_{x}\right]
b)
[H, x]
em que H=p_{x}^{2} / 2 m+V(x), sendo que:
i. V(x)=V, uma constante;
ii.
V(x)=\frac{1}{2} k x^{2}
iii.
V(x) \rightarrow V(r)=e^{2} / 4 \pi \epsilon_{0} r

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule os comutadores \left[H,p_{x}\right] e [H,x] para o Hamiltoniano
H=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+V(x)
em três situações distintas:
i. V(x)=V, uma constante;
ii. V(x)=\frac{1}{2}kx^{2};
iii. V(x)\rightarrow V(r)=\dfrac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r} (potencial coulombiano, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}).
Informações dadas relevantes:
  • O Hamiltoniano é H=\dfrac{p_{x}^{2}}{2m}+V(\cdot).
  • Os objetos a calcular são os comutadores \left[H,p_{x}\right] e [H,x].
  • Os três potenciais especificados (constante, harmônico, coulombiano).

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades básicas que vou usar (aqui ensino passo a passo):
Definição de comutador: para operadores A e B,
[A,B]=AB-BA.
Propriedade útil (linearidade):
[A,B+C]=[A,B]+[A,C],\qquad [\alpha A,B]=\alpha[A,B]\\ \\ (\alpha\\ \text{constante}).
Identidade para quadrado de operador:
[A^{2},B]=A[A,B]+[A,B]A.
Vou usar isso com A=p_{x} e B=x ou outros.
No espaço de representação de posição, o operador momento canônico é
p_{x}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x},
onde m é a massa e \hbar é a constante de Dirac reduzida. Vou usar essa forma para derivar fórmulas do tipo [f(x),p_x].

Passo 3

Derivo uma fórmula geral que será muito útil: para qualquer função suficientemente bem comportada f(x) (função de multiplicação no espaço de posição),
[f(x),p_{x}] = i\hbar f'(x),
onde f'(x)=\dfrac{df}{dx}.
Prova direta agindo sobre um estado \psi(x) (método que funciona na prova sem mágica):
\big([f(x),p_{x}]\psi\big)(x) = f(x)\big(p_{x}\psi\big)(x) - p_{x}\big(f(x)\psi(x)\big).
Substituindo p_{x}=-i\hbar\partial_{x},
= f(x)\big(-i\hbar \psi'(x)\big) - \big(-i\hbar \big(f(x)\psi(x)\big)'\big)
= -i\hbar f(x)\psi'(x) + i\hbar\big(f'(x)\psi(x)+f(x)\psi'(x)\big)
= i\hbar f'(x)\psi(x).
Como isso vale para todo \psi, obtemos a igualdade de operadores
[f(x),p_{x}] = i\hbar f'(x).
Observação didática: essa fórmula é muito prática — em prova, sempre que houvesse um comutador entre uma função de x (multiplicação) e p_x, substituo por i\hbar vezes a derivada dessa função.

Passo 4

Calculo agora \left[H,p_{x}\right] de forma geral usando linearidade:
\left[H,p_{x}\right] = \left[\frac{p_{x}^{2}}{2m},p_{x}\right] + \left[V(\cdot),p_{x}\right].
O primeiro termo é zero porque p_{x} comuta consigo mesmo: para qualquer operador A, [A,A]=0, e portanto \left[p_{x}^{2},p_{x}\right]=0. Logo
\left[\frac{p_{x}^{2}}{2m},p_{x}\right]=0.
Portanto
\left[H,p_{x}\right] = \left[V(\cdot),p_{x}\right].
Agora aplico a fórmula do Passo 3: se V for função de x (ou de r, trato a derivada parcial), então
\left[V(\cdot),p_{x}\right] = i\hbar \frac{\partial V(\cdot)}{\partial x}.
Assim, de maneira geral
\boxed{\left[H,p_{x}\right] = i\hbar \frac{\partial V}{\partial x}.}
Vou agora aplicar essa expressão a cada caso concreto.

Passo 5

Caso (i): V(x)=V constante.
Aqui \dfrac{dV}{dx}=0. Usando o resultado do passo anterior,
\left[H,p_{x}\right] = i\hbar\cdot 0 = 0.
Interpretação: potencial constante não exerce força, logo o comutador é zero.

Passo 6

Caso (ii): V(x)=\dfrac{1}{2}k x^{2} (oscilador harmônico unidimensional).
Calculo a derivada:
\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}k x^{2}\right)=kx.
Logo
\left[H,p_{x}\right] = i\hbar k x.
É interessante notar que esse comutador é proporcional ao operador posição x: isso está ligado à força restauradora F=-kx.

Passo 7

Caso (iii): V(r)=\dfrac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui V depende de x através de r. Uso a regra da cadeia: primeiro
\frac{dV}{dr} = -\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}.
Em seguida
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{dV}{dr}\frac{\partial r}{\partial x}.
E \dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{r} (derivada direta de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}). Portanto
\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r} = -\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{x}{r^{3}}.
Aplicando ao comutador,
\left[H,p_{x}\right] = i\hbar \frac{\partial V}{\partial x} = -i\hbar \frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{x}{r^{3}}.
Observação: isso corresponde (até fatores) à componente x da força eletrostática centrada na origem.

Passo 8

Agora calculo [H,x] de forma geral.
De novo uso linearidade:
[H,x] = \left[\frac{p_{x}^{2}}{2m},x\right] + [V(\cdot),x].
Primeiro avalio [V(\cdot),x]. Se V é uma função de multiplicação (função de coordenadas), então V e x comutam porque ambos são operadores de multiplicação no espaço de posição: V(\cdot)x = x V(\cdot). Logo
[V(\cdot),x]=0.
Fica então
[H,x] = \left[\frac{p_{x}^{2}}{2m},x\right].
Uso a identidade do Passo 2 com A=p_{x} e B=x:
[p_{x}^{2},x] = p_{x}[p_{x},x] + [p_{x},x]p_{x}.
Lembrando que [x,p_{x}]=i\hbar, então [p_{x},x]=-i\hbar. Substituo:
[p_{x}^{2},x] = p_{x}(-i\hbar) + (-i\hbar)p_{x} = -2i\hbar p_{x}.
Dividindo por 2m,
\left[\frac{p_{x}^{2}}{2m},x\right] = -\frac{2i\hbar p_{x}}{2m} = -\frac{i\hbar}{m} p_{x}.
Portanto, de forma geral,
\boxed{[H,x] = -\frac{i\hbar}{m}p_{x}.}

Passo 9

Aplicações aos três casos (relembrando: [H,x] ficou independente de V, porque V comuta com x quando V é qualquer função de coordenadas):
(i) V= constante:
[H,p_{x}] = 0,\qquad [H,x] = -\frac{i\hbar}{m}p_{x}.
(ii) V=\dfrac{1}{2}kx^{2}:
[H,p_{x}] = i\hbar k x,\qquad [H,x] = -\frac{i\hbar}{m}p_{x}.
(iii) V(r)=\dfrac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}:
[H,p_{x}] = -i\hbar \frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{x}{r^{3}},\qquad [H,x] = -\frac{i\hbar}{m}p_{x}.

Resposta

(i) V(x)=V constante:\n [H,p_{x}]=0\n [H,x]=-\dfrac{i\hbar}{m}p_{x}\n\n(ii) V(x)=\dfrac{1}{2}kx^{2}:\n [H,p_{x}]=i\hbar k x\n [H,x]=-\dfrac{i\hbar}{m}p_{x}\n\n(iii) V(r)=\dfrac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}:\n [H,p_{x}]=-i\hbar \dfrac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{x}{r^{3}}\n [H,x]=-\dfrac{i\hbar}{m}p_{x}

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