Calcule os comutadores
a)
b)
em que
, sendo que:
i.
, uma constante;
ii.
iii.
a)
b)
i.
ii.
iii.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule os comutadores
e
para o Hamiltoniano
em três situações distintas:
i. , uma constante;
ii. ;
iii. (potencial coulombiano, com
).
i.
ii.
iii.
Informações dadas relevantes:
- O Hamiltoniano é
. - Os objetos a calcular são os comutadores
e . - Os três potenciais especificados (constante, harmônico, coulombiano).
Passo 2
Relembrando a definição e propriedades básicas que vou usar (aqui ensino passo a passo):
Definição de comutador: para operadores
e
,
Propriedade útil (linearidade):
Identidade para quadrado de operador:
Vou usar isso com
e
ou outros.
No espaço de representação de posição, o operador momento canônico é
onde
é a massa e
é a constante de Dirac reduzida. Vou usar essa forma para derivar fórmulas do tipo
.
Passo 3
Derivo uma fórmula geral que será muito útil: para qualquer função suficientemente bem comportada
(função de multiplicação no espaço de posição),
onde
.
Prova direta agindo sobre um estado
(método que funciona na prova sem mágica):
Substituindo
,
Como isso vale para todo
, obtemos a igualdade de operadores
Observação didática: essa fórmula é muito prática — em prova, sempre que houvesse um comutador entre uma função de
(multiplicação) e
, substituo por
vezes a derivada dessa função.
Passo 4
Calculo agora
de forma geral usando linearidade:
O primeiro termo é zero porque
comuta consigo mesmo: para qualquer operador
,
, e portanto
. Logo
Portanto
Agora aplico a fórmula do Passo 3: se
for função de
(ou de
, trato a derivada parcial), então
Assim, de maneira geral
Vou agora aplicar essa expressão a cada caso concreto.
Passo 5
Caso (i):
constante.
Aqui
. Usando o resultado do passo anterior,
Interpretação: potencial constante não exerce força, logo o comutador é zero.
Passo 6
Caso (ii):
(oscilador harmônico unidimensional).
Calculo a derivada:
Logo
É interessante notar que esse comutador é proporcional ao operador posição
: isso está ligado à força restauradora
.
Passo 7
Caso (iii):
, com
.
Aqui
depende de
através de
. Uso a regra da cadeia: primeiro
Em seguida
E
(derivada direta de
). Portanto
Aplicando ao comutador,
Observação: isso corresponde (até fatores) à componente
da força eletrostática centrada na origem.
Passo 8
Agora calculo
de forma geral.
De novo uso linearidade:
Primeiro avalio
. Se
é uma função de multiplicação (função de coordenadas), então
e
comutam porque ambos são operadores de multiplicação no espaço de posição:
. Logo
Fica então
Uso a identidade do Passo 2 com
e
:
Lembrando que
, então
. Substituo:
Dividindo por
,
Portanto, de forma geral,
Passo 9
Aplicações aos três casos (relembrando:
ficou independente de
, porque
comuta com
quando
é qualquer função de coordenadas):
(i)
constante:
(ii)
:
(iii)
:
Resposta
(i)
constante:\n
\n
\n\n(ii)
:\n
\n
\n\n(iii)
:\n
\n