Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia.
\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{a}, em que V=0

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)
e diz que V=0. O que se pede:
  • Verificar se \psi(x) é uma autofunção da equação de Schrödinger independente do tempo (ou seja, se ao aplicar o operador hamiltoniano ela devolve um múltiplo escalar dela mesma).
  • Determinar o autovalor de energia correspondente.
Informações relevantes extraídas do enunciado (e que são padrão para este tipo de função):
  • A função está definida no intervalo 0\le x\le a (pois \sin com esse argumento é usada no poço infinito de largura a) e satisfaz as condições de contorno \psi(0)=\psi(a)=0.
  • n é um número inteiro positivo: n=1,2,3,\dots.
  • O potencial dentro do poço é V(x)=0 (para 0<x<a).
  • A constante de normalização é \sqrt{2/a} (está já dada).

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger independente do tempo no caso unidimensional e com V=0. A equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} = E\,\psi(x).
Aqui:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • E é o valor de energia (autovalor) que queremos encontrar,
  • \psi(x) é a função de onda candidata a autofunção.
Para mostrar que \psi é autofunção basta calcular \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} e verificar se o lado esquerdo fica igual a um escalar vezes \psi.

Passo 3

Definimos a constante de onda
k=\frac{n\pi}{a}.
Assim a função de onda fica \psi(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin(kx). Calculamos a primeira derivada usando a regra básica \dfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx):
\frac{d\psi}{dx}=\sqrt{\frac{2}{a}}\;k\cos(kx).

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada. Derivando \cos(kx) obtemos -k\sin(kx). Logo
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\sqrt{\frac{2}{a}}\;k\cdot\left(-k\sin(kx)\right) = -k^{2}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(kx).
Reconhecendo a \psi(x) original, temos
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -k^{2}\psi(x).
Substituindo k=\dfrac{n\pi}{a} dá explicitamente
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{\!2}\psi(x).

Passo 5

Substituímos \dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} na equação de Schrödinger:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{\!2}\psi(x)\right) = \frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{\!2}\psi(x).
Portanto o lado esquerdo é um número (escalares) multiplicando \psi(x). Identificamos esse número com o autovalor de energia E:
E=\frac{\hbar^{2}n^{2}\pi^{2}}{2m a^{2}}.
Isso prova que \psi(x) é de fato uma autofunção do operador energia e que o correspondente autovalor é E dado acima.

Passo 6

Verificação das condições físicas e do índice n:
  • Em x=0: \psi(0)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin(0)=0.
  • Em x=a: \psi(a)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin(n\pi)=0 (pois n inteiro).
    Essas condições de contorno são satisfeitas somente para n\in\{1,2,3,\dots\}. O caso n=0 daria \psi\equiv 0, que não é uma função de onda física normalizável.

Passo 7

Verificação rápida da normalização (só para fechar): usamos a identidade \sin^{2}\theta=(1-\cos(2\theta))/2 e calculamos
\int_{0}^{a}|\psi(x)|^{2}dx=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx =\frac{2}{a}\cdot\frac{a}{2}=1,
onde a integral do termo \cos(2kx) se anula em 0 a a. Assim a constante \sqrt{2/a} normaliza \psi.

Resposta

Sim. Os estados
\displaystyle \psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right), com n=1,2,3,\dots, são autofunções da equação de Schrödinger para V=0 no intervalo 0<x<a.
Os autovalores de energia correspondentes são
E_{n}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2m a^{2}},\quad n=1,2,3,\dots

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