Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia.
, em que
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
e diz que
. O que se pede:
- Verificar se
é uma autofunção da equação de Schrödinger independente do tempo (ou seja, se ao aplicar o operador hamiltoniano ela devolve um múltiplo escalar dela mesma). - Determinar o autovalor de energia correspondente.
Informações relevantes extraídas do enunciado (e que são padrão para este tipo de função):
- A função está definida no intervalo
(pois com esse argumento é usada no poço infinito de largura ) e satisfaz as condições de contorno . -
é um número inteiro positivo: . - O potencial dentro do poço é
(para ). - A constante de normalização é
(está já dada).
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger independente do tempo no caso unidimensional e com
. A equação é
Aqui:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é o valor de energia (autovalor) que queremos encontrar, -
é a função de onda candidata a autofunção.
Para mostrar que
é autofunção basta calcular
e verificar se o lado esquerdo fica igual a um escalar vezes
.
Passo 3
Definimos a constante de onda
Assim a função de onda fica
. Calculamos a primeira derivada usando a regra básica
:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada. Derivando
obtemos
. Logo
Reconhecendo a
original, temos
Substituindo
dá explicitamente
Passo 5
Substituímos
na equação de Schrödinger:
Portanto o lado esquerdo é um número (escalares) multiplicando
. Identificamos esse número com o autovalor de energia
:
Isso prova que
é de fato uma autofunção do operador energia e que o correspondente autovalor é
dado acima.
Passo 6
Verificação das condições físicas e do índice
:
- Em
: . - Em
: (pois inteiro).
Essas condições de contorno são satisfeitas somente para. O caso daria , que não é uma função de onda física normalizável.
Passo 7
Verificação rápida da normalização (só para fechar): usamos a identidade
e calculamos
onde a integral do termo
se anula em
a
. Assim a constante
normaliza
.
Resposta
Sim. Os estados
, com
, são autofunções da equação de Schrödinger para
no intervalo
.
Os autovalores de energia correspondentes são
Os autovalores de energia correspondentes são