Combinando duas amostras

Foram coletados os dados relativos a uma determinada variável para duas amostras distintas. Apresen-tam-se a seguir, para cada uma delas, os resultados obtidos quanto a: tamanho da amostra, média e desvio padrão.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Amostra & № de Obs. & Média & Desvio Padrão

\hline 1 & 5 & 7,4 & 6,309

\hline 2 & 4 & 11,5 & 9,983

\hline

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes com tamanho, média e desvio padrão e pede para combinar essas amostras, obtendo a média e o desvio padrão da amostra total. O conteúdo é Estatística Descritiva, e vamos precisar das fórmulas de média ponderada e de soma de quadrados para calcular a variância combinada.

Passo 2

A média da amostra combinada é a média ponderada pelos tamanhos:
bar xC = n1,bar x1 + n2,bar x2n1 + n2
Substituindo n1=5, bar x1=7,4, n2=4 e bar x2=11,5:
bar xC = 5times7,4 + 4times11,55+4 = 37 + 469 = 839 approx 9,22

Passo 3

Para calcular o desvio padrão combinando as duas amostras, primeiro achamos a soma de quadrados dentro de cada amostra:
SS1 = (n1 - 1),s1^2 = 4 times (6,309)^2 approx 4 times 39,81 = 159,24
SS2 = (n2 - 1),s2^2 = 3 times (9,983)^2 approx 3 times 99,66 = 298,98

Passo 4

Em seguida, calculamos a soma de quadrados entre as médias (efeito de desvio da média conjunta):
SSbetween = n1(bar x1 - bar xC)^2 + n2(bar x2 - bar xC)^2
Substituindo bar xCapprox9,22:
SSbetween = 5(7,4 - 9,22)^2 + 4(11,5 - 9,22)^2 approx 5(1,822)^2 + 4(2,278)^2 approx 16,61 + 20,76 = 37,37

Passo 5

Agora somamos todas as somas de quadrados para obter SStotal e dividimos por N-1=9-1=8 para achar a variância combinada:
SStotal = 159,24 + 298,98 + 37,37 = 495,59
$$VarC = \frac{SS{total}}{N-1} = \frac{495,59}{8} \approx 61,95
$$

Passo 6

Por fim, o desvio padrão combinado é a raiz quadrada da variância:
sC = raiz61,95 approx 7,87

Resposta

Média combinada bar xC approx 9,22 e desvio padrão combinado sC approx 7,87.

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