Combinando a Primeira e a Segunda Lei da Termodinâmica, e considerando a entropia
e a energia interna
, como função de
e
, mostre que:
a)
.
b)
.
c)
, onde
é o coeficiente de dilatação e
o de compressão isotérmico.
d)
e
onde
é o calor específico a volume constante.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para, a partir das Leis da Termodinâmica, escrever relações entre as derivadas parciais de entropia
e energia interna
em função de temperatura
e volume específico
. Vamos usar:
- A Primeira Lei no forma diferencial para um sistema fechado e reversível:
- A expressão de diferenciais totais de
e . - A definição da energia livre de Helmholtz e das relações de Maxwell.
- Os coeficientes de dilatação
e de compressibilidade isotérmico .
Passo 2
Escrevemos o diferencial total de
e
em coordenadas
:
Pela Primeira Lei temos
Comparando coeficientes de
e de
obtemos:
Passo 3
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Isto prova o item (a).
Passo 4
Para o item (b) usamos a energia livre de Helmholtz
Dessa expressão seguem as relações de Maxwell:
Comparando com o resultado de (a) para
temos
Isso demonstra o item (b).
Passo 5
Para o item (c) queremos expressar
em termos de
e
. Definimos
Usando a identidade cíclica de derivadas parciais
e substituindo
e
, obtemos
Logo, de (b) segue
Passo 6
Finalmente, para o item (d) usamos a definição de calor específico a volume constante
Então de (a)
e de (a) junto com (b) ou com a relação de Maxwell
Resposta
a)
b)
c)
d)