Uma ambulância desloca-se numa autoestrada a uma velocidade de 33.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(121 \mathrm{~km} / \mathrm{h}) e tem uma sirene que emite som de frequência 400 Hz .
Calcule a frequência do som que um observador ouve dentro de um carro parado na berma do autoestrada quando a ambulância se aproxima e depois quando a ambulância se afasta. Qual a percentagem da variação da frequência em relação à frequência emitida?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que se segue:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade da ambulância (fonte): \,v_s = 33{,}5\\ \mathrm{m/s}.
    • Frequência emitida pela sirene: \,f = 400\\ \mathrm{Hz}.
    • O observador está parado na berma da autoestrada (velocidade do observador é zero).
  • Perguntas:
    1. Qual a frequência do som que o observador ouve quando a ambulância se aproxima?
    2. Qual a frequência do som que o observador ouve quando a ambulância se afasta?
    3. Qual a percentagem da variação da frequência em relação à frequência emitida?
Observação: o enunciado não indica a velocidade do som no ar, logo será necessário assumir um valor padrão para v. Não foi pedido para usar temperatura específica, por isso vou assumir a velocidade típica do som no ar à temperatura ambiente: \,v = 343\\ \mathrm{m/s} (aprox. a 20^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Intuição e derivação do efeito Doppler para fonte móvel e observador parado (passo-a-passo e sem pular etapas).
  • A fonte emite ondas com período \,T = 1/f. Em condições estáticas (fonte em repouso), o comprimento de onda é
\lambda = v \, T = \frac{v}{f},
onde:
  • \,v é a velocidade do som no ar (m/s),
  • \,f é a frequência emitida (Hz),
  • \,\lambda é o comprimento de onda (m),
  • \,T é o período (s).
  • Se a fonte se move na direção do observador com velocidade \,v_s, durante o tempo entre duas cristas consecutivas ( T) a fonte desloca-se uma distância \,v_s T em direção ao observador. Isso faz com que a distância entre cristas (o comprimento de onda efetivo na direção do observador) diminua. O novo comprimento de onda quando a fonte se aproxima é
\lambda_{\text{aprox}} = (v - v_s)\,T = \frac{v - v_s}{f}.
  • Se a fonte se afasta do observador, durante T a fonte afasta-se uma distância \,v_s T, aumentando o comprimento de onda efetivo:
\lambda_{\text{afast}} = (v + v_s)\,T = \frac{v + v_s}{f}.
  • O observador parado mede a frequência como a velocidade do som dividida pelo comprimento de onda efetivo:
    • para aproximação:
    f_{\text{aprox}} = \frac{v}{\lambda_{\text{aprox}}} = \frac{v}{(v - v_s)/f} = \frac{v}{v - v_s}\,f.
    • para afastamento:
    f_{\text{afast}} = \frac{v}{\lambda_{\text{afast}}} = \frac{v}{(v + v_s)/f} = \frac{v}{v + v_s}\,f.
Essas fórmulas são as que se aplicam para um observador estacionário e uma fonte sonora em movimento retilíneo na sua direção (sinal menos no denominador ao aproximar, sinal mais ao afastar).

Passo 3

Escrever as fórmulas com as variáveis explicitadas:
  • Frequência observada ao aproximar:
f_{\text{aprox}} = \frac{v}{v - v_s}\,f.
  • Frequência observada ao afastar:
f_{\text{afast}} = \frac{v}{v + v_s}\,f.
Onde:
  • \,v é a velocidade do som no ar (assumida \,343\\ \mathrm{m/s}),
  • \,v_s é a velocidade da fonte (ambulância) \,33{,}5\\ \mathrm{m/s},
  • \,f é a frequência emitida \,400\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Cálculo numérico da frequência quando a ambulância se aproxima.
  • Calcular v - v_s:
v - v_s = 343 - 33{,}5 = 309{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Aplicar na fórmula:
f_{\text{aprox}} = \frac{343}{309{,}5}\times 400.
  • Fazer a divisão:
\frac{343}{309{,}5} \approx 1{,}10823\quad(\text{valor aproximado}),
portanto
f_{\text{aprox}} \approx 1{,}10823 \times 400 \approx 443{,}3\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Cálculo numérico da frequência quando a ambulância se afasta.
  • Calcular v + v_s:
v + v_s = 343 + 33{,}5 = 376{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Aplicar na fórmula:
f_{\text{afast}} = \frac{343}{376{,}5}\times 400.
  • Fazer a divisão:
\frac{343}{376{,}5} \approx 0{,}91103\quad(\text{valor aproximado}),
portanto
f_{\text{afast}} \approx 0{,}91103 \times 400 \approx 364{,}4\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Cálculo da percentagem da variação da frequência em relação à frequência emitida.
  • Variação percentual quando a ambulância se aproxima (aumento):
\%\Delta_{\text{aprox}} = \frac{f_{\text{aprox}} - f}{f}\times 100\% = \frac{443{,}3 - 400}{400}\times 100\% \approx 10{,}8\%.
  • Variação percentual quando a ambulância se afasta (diminuição):
\%\Delta_{\text{afast}} = \frac{f_{\text{afast}} - f}{f}\times 100\% = \frac{364{,}4 - 400}{400}\times 100\% \approx -8{,}9\%.
Aqui o sinal negativo indica diminuição; em valor absoluto a frequência diminui cerca de 8{,}9\%.

Passo 7

Interpretação curta e dica para a prova:
  • Resultado final: ao aproximar a frequência aumenta (som mais agudo), ao afastar diminui (som mais grave).
  • Dica prática: se não der a velocidade do som, usar 343\\ \mathrm{m/s} (a menos que o enunciado peça outro valor). Para velocidades da fonte pequenas comparadas à velocidade do som, pode também usar a aproximação linear f' \approx f(1 \pm v_s/v), mas aqui fiz o cálculo exato.

Resposta

Frequência ouvida quando a ambulância se aproxima: 443{,}3\\ \mathrm{Hz}
Frequência ouvida quando a ambulância se afasta: 364{,}4\\ \mathrm{Hz}
Percentagem da variação relativa à frequência emitida: aumento de 10{,}8\% ao aproximar; diminuição de 8{,}9\% ao afastar.

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