3- Começando da lei fundamental do indutor v_{L}=L \frac{d i_{L}}{d t}. para um circuito com carga indutiva, mostre que:
i_{L}(t)=\frac{V_{L}}{X_{L}} \operatorname{sen}\left(\omega \mathrm{t}-90^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a lei fundamental do indutor
v_{L}=L\frac{d i_{L}}{d t}
e pede para, num circuito com carga indutiva, mostrar que
i_{L}(t)=\frac{V_{L}}{X_{L}}\operatorname{sen}\!\left(\omega t-90^{\circ}\right).
Informações relevantes que vou usar (assumindo regime senoidal forçado, isto é, estado estacionário):
\text{(i)}\quad v_{L}(t)=V_{L}\operatorname{sen}(\omega t),
onde \,V_{L}\, é a amplitude da tensão aplicada ao indutor e \,\omega\, é a frequência angular; e
\text{(ii)}\quad X_{L}=\omega L,
que definiremos como a reatância indutiva. Não começo a resolver ainda — apenas listei o que é dado e o que preciso obter.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial em algo que possamos integrar. A lei do indutor pode ser escrita isolando a derivada:
\frac{d i_{L}}{dt}=\frac{v_{L}(t)}{L}.
Substituo a forma senoidal de v_{L}(t) indicada no Passo 1:
\frac{d i_{L}}{dt}=\frac{V_{L}}{L}\operatorname{sen}(\omega t).
Explicação didática: estamos supondo que, depois de apagados os transientes iniciais, a corrente atinge um regime periódico senoidal (estado estacionário) sem componente contínua; por isso ao integrar vou escolher a constante de integração que leva a um sinal senoidal puro (veremos isso logo).

Passo 3

Integro ambos os lados em relação a t para obter i_{L}(t):
i_{L}(t)=\frac{V_{L}}{L}\int \operatorname{sen}(\omega t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui é importante saber a primitiva de \operatorname{sen}(\omega t): como
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\operatorname{sen}(\omega t),
seguimos que
\int \operatorname{sen}(\omega t)\,dt=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t).

Passo 4

Aplicando a primitiva no integral do Passo 3 obtemos
i_{L}(t)=-\frac{V_{L}}{\omega L}\cos(\omega t)+C.
Interpretação física da constante C: se houvesse um componente DC na corrente, C seria esse deslocamento. Em regime senoidal forçado (após os transientes) normalmente consideramos C=0 porque não há componente contínuo no estado estacionário — a corrente é puramente alternada com média zero. Então, tomando C=0,
i_{L}(t)=-\frac{V_{L}}{\omega L}\cos(\omega t).

Passo 5

Transformo a expressão com cosseno numa forma com seno deslocado em fase, usando a identidade trigonométrica (útil para interpretar deslocamento de fase):
\operatorname{sen}(\theta-90^{\circ})=\operatorname{sen}\theta\cos90^{\circ}-\cos\theta\sin90^{\circ}=0-\cos\theta=-\cos\theta.
Aplicando isso com \theta=\omega t -\cos(\omega t)=\operatorname{sen}(\omega t-90^{\circ}). Portanto a corrente fica
i_{L}(t)=\frac{V_{L}}{\omega L}\operatorname{sen}\!\left(\omega t-90^{\circ}\right).

Passo 6

Agora uso a definição da reatância indutiva \,X_{L}=\omega L. Substituindo \omega L por X_{L} na expressão do passo anterior obtemos exatamente a forma pedida:
i_{L}(t)=\frac{V_{L}}{X_{L}}\operatorname{sen}\!\left(\omega t-90^{\circ}\right).
Interpretação final: a amplitude da corrente é \,V_{L}/X_{L}\, e a corrente atrasa a tensão em 90^\circ (ou seja, corrente em indutor está em quadratura e “atrasa” a tensão).

Resposta

i_{L}(t)=\frac{V_{L}}{X_{L}}\operatorname{sen}\!\left(\omega t-90^{\circ}\right)

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