3- Começando da lei fundamental do indutor
. para um circuito com carga indutiva, mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá a lei fundamental do indutor
e pede para, num circuito com carga indutiva, mostrar que
Informações relevantes que vou usar (assumindo regime senoidal forçado, isto é, estado estacionário):
onde
é a amplitude da tensão aplicada ao indutor e
é a frequência angular; e
que definiremos como a reatância indutiva. Não começo a resolver ainda — apenas listei o que é dado e o que preciso obter.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial em algo que possamos integrar. A lei do indutor pode ser escrita isolando a derivada:
Substituo a forma senoidal de
indicada no Passo 1:
Explicação didática: estamos supondo que, depois de apagados os transientes iniciais, a corrente atinge um regime periódico senoidal (estado estacionário) sem componente contínua; por isso ao integrar vou escolher a constante de integração que leva a um sinal senoidal puro (veremos isso logo).
Passo 3
Integro ambos os lados em relação a
para obter
:
onde
é a constante de integração. Aqui é importante saber a primitiva de
: como
seguimos que
Passo 4
Aplicando a primitiva no integral do Passo 3 obtemos
Interpretação física da constante
: se houvesse um componente DC na corrente,
seria esse deslocamento. Em regime senoidal forçado (após os transientes) normalmente consideramos
porque não há componente contínuo no estado estacionário — a corrente é puramente alternada com média zero. Então, tomando
,
Passo 5
Transformo a expressão com cosseno numa forma com seno deslocado em fase, usando a identidade trigonométrica (útil para interpretar deslocamento de fase):
Aplicando isso com
dá
. Portanto a corrente fica
Passo 6
Agora uso a definição da reatância indutiva
. Substituindo
por
na expressão do passo anterior obtemos exatamente a forma pedida:
Interpretação final: a amplitude da corrente é
e a corrente atrasa a tensão em
(ou seja, corrente em indutor está em quadratura e “atrasa” a tensão).