2- Mostre que, para um circuito de carga capacitiva, partindo da relação
é possível obter:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, partindo da relação básica entre corrente e tensão no capacitor,
é possível obter a expressão
Informações/condições dadas ou implícitas que vamos usar:
- A relação básica
é válida para o capacitor. - Há uma tensão senoidal aplicada ao capacitor com amplitude
e frequência angular . Isso nos permite escrever a tensão como uma função do tempo (ver passo seguinte). - O termo
aparece na expressão final; teremos que usar a definição de reatância capacitiva para chegar à forma desejada.
Nada mais será assumido sem explicação nos próximos passos.
Passo 2
Motivação física e escolha da forma da tensão: em regimes de corrente alternada (AC) é comum ter uma tensão senoidal. Para ser concreto e poder derivar, vamos representar a tensão no capacitor por uma senoide de amplitude
e frequência angular
:
Explicação rápida: escolhi a forma seno por conveniência — se tivéssemos escolhido cosseno, chegaríamos a uma expressão equivalente, só com deslocamento de fase. A escolha seno aqui facilita ver que a derivada é um cosseno, que é exatamente o que aparece no resultado pedido.
Passo 3
Lembrete de cálculo: derivada da função seno. A regra básica que vamos usar é
Aqui
é a frequência angular (unidade rad/s) e aparece por causa da regra da cadeia ao derivar
. Vou aplicar isso em seguida.
Passo 4
Calcule a derivada da tensão escolhida. Partindo de
temos, aplicando a regra do passo anterior,
Explicação detalhada:
é constante (amplitude), então sai da derivada; a derivada de
é
.
Passo 5
Substitua a derivada na relação capacitor-corrente. A expressão inicial é
Substituindo a derivada que obtivemos:
Agora faça a multiplicação escalar:
Comentário: aqui já temos a forma com
multiplicando a amplitude
.
Passo 6
Introduza a reatância capacitiva e reorganize para a forma pedida. A reatância capacitiva (módulo, em ohms) é definida por
Isso implica que
Substituindo
por
na expressão do passo anterior obtemos
Finalmente escrevemos de forma mais direta:
Passo 7
Interpretação física rápida (útil na prova): começamos com
e chegamos a
. Isso mostra que a corrente está adiantada em
em relação à tensão (porque
). Em linguagem simples: no capacitor a corrente “antecede” a tensão por um quarto de período. Além disso,
é a amplitude da corrente (unidade A), já que
tem unidade de ohm.