2- Mostre que, para um circuito de carga capacitiva, partindo da relação i_{C}=C \frac{d v_{C}}{d t} é possível obter:
i_{C}(t)=\frac{V_{C}}{X_{C}} \cos (\omega t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, partindo da relação básica entre corrente e tensão no capacitor,
i_{C}=C\frac{d v_{C}}{d t},
é possível obter a expressão
i_{C}(t)=\frac{V_{C}}{X_{C}}\cos(\omega t).
Informações/condições dadas ou implícitas que vamos usar:
  • A relação básica i_{C}=C\frac{d v_{C}}{d t} é válida para o capacitor.
  • Há uma tensão senoidal aplicada ao capacitor com amplitude V_{C} e frequência angular \omega. Isso nos permite escrever a tensão como uma função do tempo (ver passo seguinte).
  • O termo X_{C} aparece na expressão final; teremos que usar a definição de reatância capacitiva X_{C} para chegar à forma desejada.
    Nada mais será assumido sem explicação nos próximos passos.

Passo 2

Motivação física e escolha da forma da tensão: em regimes de corrente alternada (AC) é comum ter uma tensão senoidal. Para ser concreto e poder derivar, vamos representar a tensão no capacitor por uma senoide de amplitude V_{C} e frequência angular \omega:
v_{C}(t)=V_{C}\sin(\omega t).
Explicação rápida: escolhi a forma seno por conveniência — se tivéssemos escolhido cosseno, chegaríamos a uma expressão equivalente, só com deslocamento de fase. A escolha seno aqui facilita ver que a derivada é um cosseno, que é exatamente o que aparece no resultado pedido.

Passo 3

Lembrete de cálculo: derivada da função seno. A regra básica que vamos usar é
\frac{d}{dt}\big(\sin(\omega t)\big)=\omega\cos(\omega t).
Aqui \omega é a frequência angular (unidade rad/s) e aparece por causa da regra da cadeia ao derivar \sin(\omega t). Vou aplicar isso em seguida.

Passo 4

Calcule a derivada da tensão escolhida. Partindo de
v_{C}(t)=V_{C}\sin(\omega t),
temos, aplicando a regra do passo anterior,
\frac{d v_{C}}{d t}=V_{C}\,\omega\cos(\omega t).
Explicação detalhada: V_{C} é constante (amplitude), então sai da derivada; a derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t).

Passo 5

Substitua a derivada na relação capacitor-corrente. A expressão inicial é
i_{C}=C\frac{d v_{C}}{d t}.
Substituindo a derivada que obtivemos:
i_{C}(t)=C\big(V_{C}\,\omega\cos(\omega t)\big).
Agora faça a multiplicação escalar:
i_{C}(t)=V_{C}\,\omega C\cos(\omega t).
Comentário: aqui já temos a forma com \omega C multiplicando a amplitude V_{C}.

Passo 6

Introduza a reatância capacitiva e reorganize para a forma pedida. A reatância capacitiva (módulo, em ohms) é definida por
X_{C}=\frac{1}{\omega C}.
Isso implica que
\frac{1}{X_{C}}=\omega C.
Substituindo \omega C por 1/X_{C} na expressão do passo anterior obtemos
i_{C}(t)=V_{C}\left(\frac{1}{X_{C}}\right)\cos(\omega t).
Finalmente escrevemos de forma mais direta:
i_{C}(t)=\frac{V_{C}}{X_{C}}\cos(\omega t).

Passo 7

Interpretação física rápida (útil na prova): começamos com v_{C}(t)=V_{C}\sin(\omega t) e chegamos a i_{C}(t)=\dfrac{V_{C}}{X_{C}}\cos(\omega t). Isso mostra que a corrente está adiantada em 90^\circ em relação à tensão (porque \cos(\omega t)=\sin(\omega t+\tfrac{\pi}{2})). Em linguagem simples: no capacitor a corrente “antecede” a tensão por um quarto de período. Além disso, V_{C}/X_{C} é a amplitude da corrente (unidade A), já que X_{C} tem unidade de ohm.

Resposta

i_{C}(t)=\frac{V_{C}}{X_{C}}\cos(\omega t)

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