1. (a) Começando \operatorname{com} n=1\), escreva os seis primeiros termos da sequência \(\left\{a_{n}\right\}\), onde \[a_{n}= \begin{cases}1, & \text { se } n \text { for ímpar } \\\ n, & \text { se } n \text { for par }\end{cases}
(b) Começando \operatorname{com} n=1\], e considerando separadamente os termos pares e ímpares, encontre uma fórmula para o termo geral da sequência \[1, \frac{1}{2^{2}}, 3, \frac{1}{2^{4}}, 5, \frac{1}{2^{6}}, \ldots\] \text{(c)} Começando \(\operatorname{com} n=1, e considerando separadamente os termos pares e ímpares, encontre uma fórmula para o termo geral da sequência
1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{9}, \ldots
(d) Determine se as sequências nas partes (a), (b) e (c) convergem. Em caso afirmativo, encontre o limite.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre sequências definidas de forma intercalada ou por padrões: (a) listar seis primeiros termos de
a_{n} = \begin{cases} 1, & \text{se \(n\) for ímpar},\\ n, & \text{se \(n\) for par}, \end{cases}í
(b) achar fórmula geral separando índices pares e ímpares para a sequência
1,\;\frac{1}{2^{2}},\;3,\;\frac{1}{2^{4}},\;5,\;\frac{1}{2^{6}},\;\ldots,
(c) achar fórmula geral separando índices pares e ímpares para
1,\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{5},\;\frac{1}{5},\;\frac{1}{7},\;\ldots,
(d) analisar convergência de cada sequência e, se convergir, encontrar o limite. Vamos usar definição de sequência, distinção de par/ímpar e limites de subsequências.

Passo 2

Para (a) basta substituir n=1,2,3,4,5,6\) na definição \[a_{n} = \begin{cases} 1, & \text{se \(n for ímpar},\ n, & se n for par. \end{cases}]
Isso dá
a_{1}=1,\quad a_{2}=2,\quad a_{3}=1,\quad a_{4}=4,\quad a_{5}=1,\quad a_{6}=6.

Passo 3

Na parte (b) a sequência é
1,\;\frac{1}{2^{2}},\;3,\;\frac{1}{2^{4}},\;5,\;\frac{1}{2^{6}},\;\ldots
Observe que, para n\) ímpar, o termo vale \(1,3,5,\dots\), isto é, \(a_{n}=n\). Para \(n\) par, o termo é \(\tfrac{1}{2^{2}},\tfrac{1}{2^{4}},\dots\), ou seja, \(a_{n}=2^{-n}\). Logo uma fórmula unificada é \[a_{n} = \begin{cases} n, & \text{se \(n for ímpar},\[6pt] 2^{-n}, & se n for par. \end{cases}]]

Passo 4

Na parte (c) a sequência é
1,\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{5},\;\frac{1}{5},\;\frac{1}{7},\;\ldots
Para n\) ímpar (posições 1,3,5,\dots) aparecem \(\tfrac{1}{1},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},\dots\), ou seja \[a_{n} = \frac{1}{n}\quad\text{se \(n\) ímpar}.
Para n par (posições 2,4,6,\dots) aparecem \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{7},\dots, isto é
a_{n} = \frac{1}{n+1}\quad\text{se \(n\) par}.
Portanto
a_{n} = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{se \(n ímpar},\[6pt] \frac{1}{,n+1,}, & se n par. \end{cases}]]

Passo 5

Para (d) analisamos cada sequência:
  1. Na parte (a), a_{2k}=2k cresce sem limite, logo \{a_n\} diverge.
  2. Na parte (b), a_{2k-1}=2k-1\to\infty quando k\to\infty, logo diverge.
  3. Na parte (c), para n ímpar temos a_n=1/n\to0 e para n par temos a_n=1/(n+1)\to0; como toda subsequência tende a 0, \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

(a) 1,2,1,4,1,6\). (b) \[a_{n} = \begin{cases} n, & \text{se \(n for ímpar},\ 2^{-n}, & se [n) for par. \end{cases}]
(c) a_{n} = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{se \(n ímpar},\ \frac{1}{n+1}, & se n par. \end{cases}]
(d) As sequências de (a) e (b) divergem; a de (c) converge e \lim_{n\to\infty}a_n=0.

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