- Considere a sequência
(a) Encontre uma fórmula de recursão para
.
(b) Supondo que a sequência convirja, use o método do Exemplo 10 para encontrar o limite.
(b) Supondo que a sequência convirja, use o método do Exemplo 10 para encontrar o limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
Estamos em um tópico de sequências recursivas e limites. No item (a) queremos uma fórmula que expresse
em função de
. No item (b) vamos supor que
converge e usar o método clássico de igualar o limite à expressão que gera a sequência.
Passo 2
Para passar de
a
basta notar que, em todos os termos, adicionamos um
. Logo, a definição recursiva é
Passo 3
Supondo que a sequência converge, seja
Como
e
tendem ao mesmo limite, temos
Passo 4
Elevando ao quadrado obtemos
As raízes dessa equação são
isto é,
ou
. Como todos os
são positivos, o limite deve ser
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)