- (a) Começando
(b) Começando
, e considerando separadamente os termos pares e ímpares, encontre uma fórmula para o termo geral da sequência
(d) Determine se as sequências nas partes (a), (b) e (c) convergem. Em caso afirmativo, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre sequências definidas de forma intercalada ou por padrões: (a) listar seis primeiros termos de
(b) achar fórmula geral separando índices pares e ímpares para a sequência
(c) achar fórmula geral separando índices pares e ímpares para
(d) analisar convergência de cada sequência e, se convergir, encontrar o limite. Vamos usar definição de sequência, distinção de par/ímpar e limites de subsequências.
Passo 2
Para (a) basta substituir
for ímpar},\ n, & se
for par. \end{cases}]
Isso dá
Passo 3
Na parte (b) a sequência é
Observe que, para
for ímpar},\[6pt] 2^{-n}, & se
for par. \end{cases}]]
Passo 4
Na parte (c) a sequência é
Para
Para
par (posições 2,4,6,\dots) aparecem
, isto é
Portanto
ímpar},\[6pt] \frac{1}{,n+1,}, & se
par. \end{cases}]]
Passo 5
Para (d) analisamos cada sequência:
- Na parte (a),
cresce sem limite, logo diverge. - Na parte (b),
quando , logo diverge. - Na parte (c), para
ímpar temos e para par temos ; como toda subsequência tende a , .
Resposta
(a)
for ímpar},\ 2^{-n}, & se [n) for par. \end{cases}]
(c)
ímpar},\ \frac{1}{n+1}, & se
par. \end{cases}]
(d) As sequências de (a) e (b) divergem; a de (c) converge e
.