1. (i) Comece com a série de Fourier
t=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \operatorname{sen}(n t)}{n}, \quad-\pi<t<\pi
Use o exercício (6) duas vezes para obter a série
\frac{t^{3}}{6}-\frac{\pi^{2} t}{6}=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \operatorname{sen}(n t)}{n^{3}}, \quad-\pi<t<\pi
Em seguida, use essa série para deduzir a soma
1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{7^{3}}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{(2 n-1)^{3}}+\cdots=\frac{\pi^{3}}{32}

Passo 1

O enunciado parte da série de Fourier
t \;=\; 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\operatorname{sen}(nt)}{n},\quad -\pi<t<\pi,
usa duas integrações (exercício 6) para chegar à série
\frac{t^{3}}{6}-\frac{\pi^{2}t}{6} \;=\; 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\operatorname{sen}(nt)}{n^{3}},\quad -\pi<t<\pi,
e então pede para deduzir a soma
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,k+1}}{(2k-1)^{3}} \;=\; 1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\cdots.
Vamos usar a série obtida e escolher t=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Substituindo t=\frac{\pi}{2} na série
\frac{t^{3}}{6}-\frac{\pi^{2}t}{6} \;=\; 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\operatorname{sen}(nt)}{n^{3}}
obtemos
\frac{\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr)^{3}}{6} \;-\; \frac{\pi^{2}\,\frac{\pi}{2}}{6} \;=\; 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\operatorname{sen}\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)}{n^{3}}.

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo:
\frac{\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr)^{3}}{6} -\frac{\pi^{2}\,\frac{\pi}{2}}{6} = \frac{\pi^{3}}{48} - \frac{\pi^{3}}{12} = \pi^{3}\Bigl(\tfrac{1}{48}-\tfrac{4}{48}\Bigr) = -\frac{\pi^{3}}{16}.

Passo 4

No lado direito, \operatorname{sen}(n\pi/2)=0 para n par e para n=2k-1 (ímpar)
\operatorname{sen}\!\bigl((2k-1)\tfrac{\pi}{2}\bigr) = (-1)^{\,k-1}, \quad (-1)^{n}=(-1)^{2k-1}=-1,
então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\operatorname{sen}(n\pi/2)}{n^{3}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{-1\cdot(-1)^{\,k-1}}{(2k-1)^{3}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k-1)^{3}}.
Multiplicando por 2, o lado direito fica
2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k-1)^{3}}.

Passo 5

Igualando os dois lados,
-\frac{\pi^{3}}{16} = 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k-1)^{3}} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k-1)^{3}} = -\frac{\pi^{3}}{32}.
Multiplicando por -1 em cada termo:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^{3}} = \frac{\pi^{3}}{32}.

Resposta

1 - \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{5^{3}} - \frac{1}{7^{3}} + \cdots = \frac{\pi^{3}}{32}.

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