1. Dada a função f(t)=\operatorname{sen}^{2}(t) \cos ^{3}(t),-\pi \leq t \leq \pi, de período 2 \pi em um período completo. Esboce vários períodos de seu gráfico e encontre sua série de Fourier.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\operatorname{sen}^{2}(t)\,\cos^{3}(t),
definida em -\pi\le t\le\pi e estendida com período 2\pi. Precisamos esboçar alguns períodos do gráfico e encontrar sua série de Fourier. Vamos usar identidades trigonométricas para reduzir potências e depois ler diretamente os coeficientes da série.

Passo 2

Antes de tudo, note que
f(-t)=\operatorname{sen}^{2}(-t)\,\cos^{3}(-t) =(\\ - \operatorname{sen} t)^{2}\,(\cos t)^{3} =\operatorname{sen}^{2}t\,\cos^{3}t =f(t),
logo f é função par e sua série de Fourier só terá termos em \cos(n t). Observe também que \cos t=0 em t=\pm\pi/2, trocando o sinal da função a cada metade de período. Então, ao esboçar vários períodos:
• Zeros em t=k\pi\pm\pi/2.
• Em [-\pi/2,\pi/2] temos \cos t\ge0 e f\ge0, formam-se “lóbulos” positivos.
• Em [\pi/2,3\pi/2] a \cos t\le0, dão lóbulos negativos, e assim por diante.
• Pelo paridade, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Use a identidade de ângulo duplo
\sen2t=2\operatorname{sen} t\cos t \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}^{2}t\,\cos^{2}t =\Bigl(\tfrac12\sen2t\Bigr)^{2} =\tfrac14\operatorname{sen}^{2}2t.
Como \operatorname{sen}^{2}t\,\cos^{3}t=\bigl(\operatorname{sen}^{2}t\,\cos^{2}t\bigr)\cos t, então
f(t) =\tfrac14\,\cos t\,\operatorname{sen}^{2}2t.

Passo 4

Reescreva \operatorname{sen}^{2}2t em termos de cosseno de ângulo duplo:
\operatorname{sen}^{2}2t =\tfrac12\bigl(1-\cos4t\bigr),
então
f(t) =\tfrac14\,\cos t\;\times\;\tfrac12(1-\cos4t) =\tfrac18\,\cos t\;-\;\tfrac18\,\cos t\,\cos4t.

Passo 5

Expanda o produto de cossenos pela fórmula
\cos t\,\cos4t =\tfrac12\bigl(\cos5t+\cos3t\bigr).
Logo
f(t) =\tfrac18\cos t -\tfrac18\;\tfrac12\bigl(\cos5t+\cos3t\bigr) =\tfrac18\cos t -\tfrac1{16}\cos3t -\tfrac1{16}\cos5t.

Passo 6

Da forma obtida vemos que
a_{0}=0, \quad a_{1}=\tfrac18, \quad a_{3}=-\tfrac1{16}, \quad a_{5}=-\tfrac1{16},
e todos os outros a_{n}=0 para n\neq1,3,5. Como a função é par, b_{n}=0 para todo n. Portanto esta é a série de Fourier completa.

Resposta

f(t)=\operatorname{sen}^{2}(t)\cos^{3}(t) =\frac18\cos t -\frac1{16}\cos3t -\frac1{16}\cos5t.

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