- Dada a função
, de período
em um período completo. Esboce vários períodos de seu gráfico e encontre sua série de Fourier.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e estendida com período
. Precisamos esboçar alguns períodos do gráfico e encontrar sua série de Fourier. Vamos usar identidades trigonométricas para reduzir potências e depois ler diretamente os coeficientes da série.
Passo 2
Antes de tudo, note que
logo
é função par e sua série de Fourier só terá termos em
. Observe também que
em
, trocando o sinal da função a cada metade de período. Então, ao esboçar vários períodos:
• Zeros em
.
• Em temos
e
, formam-se “lóbulos” positivos.
• Em a
, dão lóbulos negativos, e assim por diante.
• Pelo paridade, o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
• Em
• Em
• Pelo paridade, o gráfico é simétrico em relação ao eixo
Passo 3
Use a identidade de ângulo duplo
Como
, então
Passo 4
Reescreva
em termos de cosseno de ângulo duplo:
então
Passo 5
Expanda o produto de cossenos pela fórmula
Logo
Passo 6
Da forma obtida vemos que
e todos os outros
para
. Como a função é par,
para todo
. Portanto esta é a série de Fourier completa.