Um comerciante, para quem o dinheiro vale 5 \% ao mês, oferece determinado produto em três prestações mensais e iguais a \mathrm{R} \ 500,00$, a primeira paga um mês após a compra. Calcule:
a) Que valor o comerciante deve cobrar por esse produto para pagamento a vista, de modo a obter lucro equivalente;
b) Se um consumidor deseja comprar esse produto em três prestações mensais e iguais, sendo a primeira no ato da compra, qual deve ser o valor das parcelas para obter lucro equivalente.

Passo 1

Vamos deixar clarinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O comerciante trabalha com taxa de juros de 5\% ao mês. Logo i=5\%=0,05.
  • Situação 1 (dada): o produto é vendido em três prestações mensais e iguais de \mathrm{R}\$\;500,00, com a primeira prestação paga um mês após a compra (ou seja, pagamentos nos instantes t=1,\,t=2,\,t=3 meses).
  • Pergunta (a): qual o valor à vista que dá ao comerciante o mesmo lucro (mesmo valor presente) dessa venda a prazo?
  • Pergunta (b): se o consumidor quiser pagar em três prestações iguais com a primeira no ato da compra (pagamentos em t=0,\,t=1,\,t=2), qual deve ser o valor de cada parcela para o comerciante obter o mesmo lucro (mesmo valor presente) que na situação original?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): o dinheiro tem valor no tempo — receber uma quantia no futuro vale menos hoje. Para comparar somas em instantes diferentes usamos o valor presente (PV), trazendo cada pagamento ao instante t=0 com o fator de desconto
v=\dfrac{1}{1+i}.
Aqui i é a taxa por período (mensal). Para uma quantia recebida em t=k meses, seu valor presente é \text{quantia}\times v^{k}.
Também usaremos a fórmula do valor presente de uma renda certa (parcelas iguais) pagas ao final de cada período (anuidade-imediata). Para uma anuidade de n pagamentos iguais de valor PMT pagos em t=1,2,\dots,n, o valor presente é
PV = PMT\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Nessa fórmula:
  • PMT é o valor de cada parcela,
  • n é o número de parcelas,
  • i é a taxa por período.
Se as parcelas são pagas no início de cada período (anuidade-vencida ou “à vista” no início), o PV é multiplicado por (1+i), porque cada pagamento ocorre um período mais cedo.

Passo 3

Calcular o valor presente dos três pagamentos de \mathrm{R}\$\;500,00 pagos em t=1,2,3. Aqui é uma anuidade-imediata com PMT=500 e n=3, então aplicamos a fórmula
PV = 500\cdot \frac{1-(1+i)^{-3}}{i}.
Substituindo i=0,05 teremos o preço à vista que dá o mesmo valor presente.

Passo 4

Fazendo as contas passo a passo.
Calcular (1+i) e sua potência:
1+i = 1,05, \qquad (1+i)^{3} = (1,05)^{3} = 1,157625.
Calcular (1+i)^{-3}:
(1+i)^{-3} = \dfrac{1}{1,157625}\approx 0,8638375985.
Agora o numerador da fração:
1-(1+i)^{-3} \approx 1-0,8638375985 = 0,1361624015.
Dividindo por i=0,05:
\frac{1-(1+i)^{-3}}{i} \approx \frac{0,1361624015}{0,05} \approx 2,723248029.
Finalmente
PV = 500\cdot 2,723248029 \approx 1361,6240145.
Arredondando para centavos: o comerciante, para obter lucro equivalente, deve cobrar à vista aproximadamente \mathrm{R}\$\;1.361,62.

Passo 5

Agora a situação (b): parcelas iguais X pagas em t=0,1,2. O valor presente dessas três parcelas é
PV' = X + X\cdot v + X\cdot v^{2} = X(1+v+v^{2}),
onde v=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1,05}.
Queremos PV' = PV (o mesmo valor presente que calculamos no Passo 4). Então
X(1+v+v^{2}) = PV.
Podemos simplificar observando que o PV do Passo 4 pode ser escrito como 500v(1+v+v^{2}) (pois 500v+500v^{2}+500v^{3}=500v(1+v+v^{2})). Assim:
X(1+v+v^{2}) = 500v(1+v+v^{2}) \quad\Rightarrow\quad X = 500v.
E como v=\dfrac{1}{1+i}, temos
X = \dfrac{500}{1+i} = \dfrac{500}{1,05}.

Passo 6

Calcule numérico:
X = \dfrac{500}{1,05} \approx 476,1904762.
Arredondando para centavos, cada parcela deve ser de \mathrm{R}\$\;476,19. Interpretação rápida e amiga: como a primeira parcela agora é imediata, cada parcela pode ser um pouco menor do que \mathrm{R}\$\;500,00 e o comerciante recebe o mesmo valor presente.

Resposta

(a) \mathrm{R}\$\;1.361,62
(b) \mathrm{R}\$\;476,19

Exercícios relacionados