Um comerciante, para quem o dinheiro vale
ao mês, oferece determinado produto em três prestações mensais e iguais a
500,00$, a primeira paga um mês após a compra. Calcule:
a) Que valor o comerciante deve cobrar por esse produto para pagamento a vista, de modo a obter lucro equivalente;
b) Se um consumidor deseja comprar esse produto em três prestações mensais e iguais, sendo a primeira no ato da compra, qual deve ser o valor das parcelas para obter lucro equivalente.
a) Que valor o comerciante deve cobrar por esse produto para pagamento a vista, de modo a obter lucro equivalente;
b) Se um consumidor deseja comprar esse produto em três prestações mensais e iguais, sendo a primeira no ato da compra, qual deve ser o valor das parcelas para obter lucro equivalente.
Passo 1
Vamos deixar clarinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O comerciante trabalha com taxa de juros de
ao mês. Logo . - Situação 1 (dada): o produto é vendido em três prestações mensais e iguais de
, com a primeira prestação paga um mês após a compra (ou seja, pagamentos nos instantes meses). - Pergunta (a): qual o valor à vista que dá ao comerciante o mesmo lucro (mesmo valor presente) dessa venda a prazo?
- Pergunta (b): se o consumidor quiser pagar em três prestações iguais com a primeira no ato da compra (pagamentos em
), qual deve ser o valor de cada parcela para o comerciante obter o mesmo lucro (mesmo valor presente) que na situação original?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): o dinheiro tem valor no tempo — receber uma quantia no futuro vale menos hoje. Para comparar somas em instantes diferentes usamos o valor presente (PV), trazendo cada pagamento ao instante
com o fator de desconto
Aqui
é a taxa por período (mensal). Para uma quantia recebida em
meses, seu valor presente é
.
Também usaremos a fórmula do valor presente de uma renda certa (parcelas iguais) pagas ao final de cada período (anuidade-imediata). Para uma anuidade de
pagamentos iguais de valor
pagos em
, o valor presente é
Nessa fórmula:
-
é o valor de cada parcela, -
é o número de parcelas, -
é a taxa por período.
Se as parcelas são pagas no início de cada período (anuidade-vencida ou “à vista” no início), o PV é multiplicado por
, porque cada pagamento ocorre um período mais cedo.
Passo 3
Calcular o valor presente dos três pagamentos de
pagos em
. Aqui é uma anuidade-imediata com
e
, então aplicamos a fórmula
Substituindo
teremos o preço à vista que dá o mesmo valor presente.
Passo 4
Fazendo as contas passo a passo.
Calcular
e sua potência:
Calcular
:
Agora o numerador da fração:
Dividindo por
:
Finalmente
Arredondando para centavos: o comerciante, para obter lucro equivalente, deve cobrar à vista aproximadamente
.
Passo 5
Agora a situação (b): parcelas iguais
pagas em
. O valor presente dessas três parcelas é
onde
.
Queremos
(o mesmo valor presente que calculamos no Passo 4). Então
Podemos simplificar observando que o
do Passo 4 pode ser escrito como
(pois
). Assim:
E como
, temos
Passo 6
Calcule numérico:
Arredondando para centavos, cada parcela deve ser de
. Interpretação rápida e amiga: como a primeira parcela agora é imediata, cada parcela pode ser um pouco menor do que
e o comerciante recebe o mesmo valor presente.
Resposta
(a)
(b)
(b)