Determine a fórmula para \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} semelhante à Fórmula 8 para o caso onde S é dada por x=k(y, z) e \mathbf{n} é o versor normal que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).

Passo 1

O que nos pediram e o que temos: a superfície S é dada pela equação x=k(y,z). Queremos a fórmula para o fluxo
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{n} é o versor normal que aponta para a frente (isto é, para o observador, na posição usual dos eixos). Vou usar \mathbf{F}=(P,Q,R), com P,Q,R funções de (x,y,z). A superfície será parametrizada em termos das variáveis livres y e z; o domínio de parametrização no plano (y,z) chamo de D.

Passo 2

Parametrização da superfície: como x está explicitamente escrita em função de (y,z), uma parametrização natural é
\mathbf{r}(y,z)=\big(k(y,z),\;y,\;z\big),\qquad (y,z)\in D.
Aqui D é a região no plano yz que corresponde à superfície S. Na prova basta referir que se integra sobre D.

Passo 3

Calcular os vetores tangentes parciais \mathbf{r}_y e \mathbf{r}_z. Derivando componente a componente:
\mathbf{r}_y=\big(k_y(y,z),\;1,\;0\big),\qquad \mathbf{r}_z=\big(k_z(y,z),\;0,\;1\big),
onde k_y=\dfrac{\partial k}{\partial y} e k_z=\dfrac{\partial k}{\partial z}. Expliquei: k_y e k_z são as derivadas parciais de k em relação a y e z.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z (que fornece um vetor normal orientado e a área elemento quando multiplicado por dy\,dz). Usando determinante:
\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] k_y & 1 & 0\\[4pt] k_z & 0 & 1 \end{vmatrix} = \big(1,\,-k_y,\,-k_z\big).
Observe que a componente na direção x é 1>0, portanto este vetor normal aponta para o lado de x positivo. Isso coincide com a orientação “para a frente” (versor com componente x positiva) pedida no enunciado. Se tivesse necessidade da normal contrária, bastaria trocar sinal.]

Passo 5

Explicar a relação entre o produto vetorial e o elemento de área orientado: o vetor área elementar é
d\mathbf{S}=\big(\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z\big)\,dy\,dz=\big(1,\,-k_y,\,-k_z\big)\,dy\,dz.
Não é preciso normalizar para usar na integral de fluxo: a fórmula de fluxo usa \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, e d\mathbf{S} já contém a magnitude correta da área e a orientação.

Passo 6

Escrever a integral de fluxo em termos de y,z. Avaliando \mathbf{F} na parametrização (isto é, substituindo x=k(y,z)):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(y,z))=\big(P(k(y,z),y,z),\;Q(k(y,z),y,z),\;R(k(y,z),y,z)\big).
Logo o integrando \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} fica
\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(y,z)\big)\cdot\big(1,\,-k_y,\,-k_z\big)\,dy\,dz.

Passo 7

Expandir o produto escalar e escrever a fórmula final. O produto escalar dá
P(k(y,z),y,z)\cdot 1 \;+\; Q(k(y,z),y,z)\cdot(-k_y)\;+\; R(k(y,z),y,z)\cdot(-k_z).
Portanto a fórmula do fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}\Big[\,P\big(k(y,z),y,z\big)\;-\;Q\big(k(y,z),y,z\big)\,k_y(y,z)\;-\;R\big(k(y,z),y,z\big)\,k_z(y,z)\Big]\,dy\,dz.
Aqui D é a projeção/área de parametrização no plano yz. Essa é análoga à “Fórmula 8” mas escrita para superfícies da forma x=k(y,z) com normal apontando para a frente (componente x positiva).

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}\Big[\,P\big(k(y,z),y,z\big)-Q\big(k(y,z),y,z\big)\,k_y(y,z)-R\big(k(y,z),y,z\big)\,k_z(y,z)\Big]\,dy\,dz.

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