Determine a fórmula para \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} semelhante à Fórmula 8 para o caso onde S é dada por x=k(y, z) e \mathbf{n} é o versor normal que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).
Passo 1
O que nos pediram e o que temos: a superfície S é dada pela equação x=k(y,z). Queremos a fórmula para o fluxo
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{n} é o versor normal que aponta para a frente (isto é, para o observador, na posição usual dos eixos). Vou usar \mathbf{F}=(P,Q,R), com P,Q,R funções de (x,y,z). A superfície será parametrizada em termos das variáveis livres y e z; o domínio de parametrização no plano (y,z) chamo de D.
Passo 2
Parametrização da superfície: como x está explicitamente escrita em função de (y,z), uma parametrização natural é
\mathbf{r}(y,z)=\big(k(y,z),\;y,\;z\big),\qquad (y,z)\in D.
Aqui D é a região no plano yz que corresponde à superfície S. Na prova basta referir que se integra sobre D.
Passo 3
Calcular os vetores tangentes parciais \mathbf{r}_y e \mathbf{r}_z. Derivando componente a componente:
onde k_y=\dfrac{\partial k}{\partial y} e k_z=\dfrac{\partial k}{\partial z}. Expliquei: k_y e k_z são as derivadas parciais de k em relação a y e z.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z (que fornece um vetor normal orientado e a área elemento quando multiplicado por dy\,dz). Usando determinante:
Observe que a componente na direção x é 1>0, portanto este vetor normal aponta para o lado de x positivo. Isso coincide com a orientação “para a frente” (versor com componente x positiva) pedida no enunciado. Se tivesse necessidade da normal contrária, bastaria trocar sinal.]
Passo 5
Explicar a relação entre o produto vetorial e o elemento de área orientado: o vetor área elementar é
Não é preciso normalizar para usar na integral de fluxo: a fórmula de fluxo usa \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, e d\mathbf{S} já contém a magnitude correta da área e a orientação.
Passo 6
Escrever a integral de fluxo em termos de y,z. Avaliando \mathbf{F} na parametrização (isto é, substituindo x=k(y,z)):
Aqui D é a projeção/área de parametrização no plano yz. Essa é análoga à “Fórmula 8” mas escrita para superfícies da forma x=k(y,z) com normal apontando para a frente (componente x positiva).