Luís Fernando precisa comprar uma peça para seu carro, com o qual ele pretende ficar por mais três anos. Ele pode comprar por 1.440 reais uma peça original, com garantia de três anos, ou, uma alternativa (paralela), por 500 reais, que dura exatamente um ano. Suponha o dinheiro valendo 10% ao ano, ambas as condições com mão de obra incluída e Luís Fernando dispondo do dinheiro, então:
a) Explique para Luís Fernando que, apesar do desembolso total com a peça alternativa, ser maior, ela é a opção mais vantajosa?
b) Mostre a Luís Fernando que, a partir de um certo desconto na peça original ela passa a ser melhor opção, qual o valor percentual desse certo desconto?
a) Explique para Luís Fernando que, apesar do desembolso total com a peça alternativa, ser maior, ela é a opção mais vantajosa?
b) Mostre a Luís Fernando que, a partir de um certo desconto na peça original ela passa a ser melhor opção, qual o valor percentual desse certo desconto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados fornecidos:
- Preço da peça original:
1440 reais, compra única hoje e garantia de 3 anos. - Preço da peça alternativa:
500 reais, dura exatamente 1 ano (logo precisa ser comprada 3 vezes para cobrir 3 anos). - Taxa de juros (valor do dinheiro):
10%) ao ano. - Luís Fernando dispõe do dinheiro hoje (ou seja, podemos comparar os custos usando valor presente).
- Preço da peça original:
- Perguntas:
a) Mostrar por que, apesar do desembolso total nominal ser maior na alternativa, ela é a opção mais vantajosa.
b) Determinar a partir de qual desconto percentual na peça original ela passa a ser a melhor opção (ou seja, achar o desconto mínimo que torna o preço original melhor que a alternativa).
Passo 2
Explicação didática do conceito que vamos usar: valor presente (VP).
- O princípio: dinheiro hoje vale mais que o mesmo dinheiro no futuro. Para comparar pagamentos em tempos diferentes, trazemos todos os pagamentos para hoje usando o fator de desconto.
- Se a taxa de juros anual é
i , então um pagamento futuro a ser feito em anos tem valor presente dado por
Aqui
X
é o valor a ser pago no tempo
(em reais),
i
é a taxa anual (no caso
i=10% = 0,10
), e
t
é o número de anos entre hoje e o pagamento.
- Para vários pagamentos em momentos diferentes, a VP total é a soma das VPs individuais:
- Vamos aplicar isso: comparar o VP de comprar a peça original hoje com o VP de comprar a alternativa nos anos 0, 1 e 2.
Passo 3
Calcular o valor presente da peça original.
- A peça original é comprada uma vez hoje (tempo
), portanto seu valor presente é simplesmente o preço pago hoje:
(Quando
,
, então não há desconto.)
Passo 4
Calcular o valor presente da peça alternativa (comprada por 3 anos, uma por ano).
- Pagamentos necessários:
500 hoje ( ), 500 daqui a 1 ano ( ), e 500 daqui a 2 anos ( ). - Taxa:
i=10% = 0,10 . Para evitar escrever decimais ambíguos, note que 1,1 = \dfrac{11}{10}) e 1,1^2 = \dfrac{121}{100}). - Portanto a VP da alternativa é
- Calculando termo a termo:
-
- Somando:
Arredondando para centavos:
Passo 5
Comparação dos valores presentes e interpretação intuitiva.
- Temos:
-
. -
.
-
- Como
, a opção alternativa custa menos quando trazemos todos os pagamentos para o valor de hoje — portanto, é economicamente mais vantajosa considerando a taxa de 10%) ao ano. - Intuição simples: embora o total nominal (somando sem desconto) da alternativa seja
3\times500=1500 que é maior que 1440 , parte desses pagamentos ocorrem no futuro; descontando-os a valor presente eles valem menos do que a diferença nominal, e isso faz a alternativa sair mais barata em termos de valor atual.
Passo 6
Determinar o desconto mínimo na peça original que a torna tão boa quanto a alternativa.
- Seja
o desconto (fração, por exemplo para ). O preço original com desconto vale . - Queremos o ponto de equilíbrio onde o preço original com desconto tem VP igual ao da alternativa:
- Isolando
:
- Substituindo
:
- Em porcentagem:
- Interpretação prática: se a peça original for oferecida com desconto de pelo menos
5{,}02%), então o preço com desconto passa a ter VP menor ou igual à alternativa e, portanto, a peça original torna-se a melhor ou empata com a alternativa. Se o desconto for menor que 5{,}02%), a alternativa continua mais vantajosa.
Passo 7
Resumo prático para o Luís Fernando (conselho objetivo e amigável):
- Com a taxa de
10%) ao ano, comprar a peça alternativa todos os anos por 3 anos tem valor presente aproximado de R$,1367,77 , menor que os R$,1440 da peça original comprada hoje. Logo, hoje a alternativa é a escolha economicamente melhor. - Se o vendedor oferecer a peça original com desconto de pelo menos
5{,}02%), então a peça original passa a ser tão boa ou melhor; abaixo desse desconto, ficar com a alternativa é melhor.
Resposta
a) A peça alternativa é mais vantajosa, pois
1367,77
.
b) Desconto percentual mínimo na peça original: aproximadamente
5{,}02%).