Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R
315,00? Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um comerciante que gastou R$ 230,00 para comprar mercadorias e vai vender cada unidade por R$ 5,00. Queremos descobrir algumas coisas sobre o lucro dele com base na quantidade de unidades vendidas, que chamaremos de $ x $. Vamos usar conceitos de funções lineares e inequações para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão matemática da função do lucro. O lucro é dado pela diferença entre a receita total e a despesa total.
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Receita Total (RT): É o dinheiro que o comerciante ganha vendendo as mercadorias. Se ele vende cada unidade por R$ 5,00, então a receita total é $ 5x $, onde $ x $ é o número de unidades vendidas.
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Despesa Total (DT): É o custo que ele teve para comprar as mercadorias, que é fixo em R$ 230,00.
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Lucro (f(x)): É a receita total menos a despesa total.
Então, a expressão matemática da função do lucro é:
Passo 3
Agora, vamos descobrir para que valores de $ x $ temos $ f(x) < 0 $, ou seja, quando o lucro é negativo (o comerciante está tendo prejuízo).
Temos a inequação:
Vamos resolver passo a passo:
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Adicionar 230 em ambos os lados:
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Dividir ambos os lados por 5 para isolar $ x $:
Então, quando $ x < 46 $, o lucro será negativo.
Passo 4
Agora, vamos determinar para que valores de $ x $ o lucro será exatamente R$ 315,00. Isso significa que queremos encontrar $ x $ tal que:
Substituindo na função:
Resolvendo para $ x $:
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Adicionar 230 em ambos os lados:
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Dividir ambos os lados por 5:
Portanto, o comerciante precisa vender 109 unidades para ter um lucro de R$ 315,00.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar para que valores de $ x $ o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00. Isso significa que:
Substituindo na função:
Vamos resolver essa inequação composta passo a passo.
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Adicionar 230 em todas as partes:
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Dividir todas as partes por 5 para isolar $ x $:
Então, o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00 quando o comerciante vender entre 66 e 82 unidades.
Resposta
- A função do lucro é $ f(x) = 5x - 230 $.
- Para $ x < 46 $ unidades, o lucro será negativo ($ f(x) < 0 $).
- Para $ x = 109 $ unidades, o lucro será de R$ 315,00.
- Para $ 66 < x < 82 $ unidades, o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00.