Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R 230,00 na compra de certa mercadoria Como vai vender cada unidade por Ráçããáçãá 315,00? Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um comerciante que gastou R$ 230,00 para comprar mercadorias e vai vender cada unidade por R$ 5,00. Queremos descobrir algumas coisas sobre o lucro dele com base na quantidade de unidades vendidas, que chamaremos de $ x $. Vamos usar conceitos de funções lineares e inequações para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão matemática da função do lucro. O lucro é dado pela diferença entre a receita total e a despesa total.
  • Receita Total (RT): É o dinheiro que o comerciante ganha vendendo as mercadorias. Se ele vende cada unidade por R$ 5,00, então a receita total é $ 5x $, onde $ x $ é o número de unidades vendidas.
    5,00, então a receita total é
  • Despesa Total (DT): É o custo que ele teve para comprar as mercadorias, que é fixo em R$ 230,00.
    , onde
  • Lucro (f(x)): É a receita total menos a despesa total.
    é o número de unidades vendidas
Então, a expressão matemática da função do lucro é:
RT = 5x

Passo 3

Agora, vamos descobrir para que valores de $ x $ temos $ f(x) < 0 $, ou seja, quando o lucro é negativo (o comerciante está tendo prejuízo).
Temos a inequação:
x
Vamos resolver passo a passo:
  1. Adicionar 230 em ambos os lados:
    f(x) < 0
  2. Dividir ambos os lados por 5 para isolar $ x $:
    5x - 230 < 0
    5x < 230
Então, quando $ x < 46 $, o lucro será negativo.

Passo 4

Agora, vamos determinar para que valores de $ x $ o lucro será exatamente R$ 315,00. Isso significa que queremos encontrar $ x $ tal que:
x
Substituindo na função:
315,00** Isso significa que queremos encontrar
Resolvendo para $ x $:
  1. Adicionar 230 em ambos os lados:
    tal que:
    f(x) = 315
  2. Dividir ambos os lados por 5:
    Substituindo na função:
    5x - 230 = 315
Portanto, o comerciante precisa vender 109 unidades para ter um lucro de R$ 315,00.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar para que valores de $ x $ o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00. Isso significa que:
x
Substituindo na função:
100,00 e R
Vamos resolver essa inequação composta passo a passo.
  1. Adicionar 230 em todas as partes:
    100 < f(x) < 180
    100 < 5x - 230 < 180
  2. Dividir todas as partes por 5 para isolar $ x $:
    100 + 230 < 5x < 180 + 230
    330 < 5x < 410
Então, o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00 quando o comerciante vender entre 66 e 82 unidades.

Resposta

  1. A função do lucro é $ f(x) = 5x - 230 $.
  2. Para $ x < 46 $ unidades, o lucro será negativo ($ f(x) < 0 $).
  3. Para $ x = 109 $ unidades, o lucro será de R$ 315,00.
  4. Para $ 66 < x < 82 $ unidades, o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00.

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