Um cometa orbita o Sol em uma trajetória elíptica com semieixo maior de 3 \times 10^{\wedge}\{10\} \mathrm{m} a partir do centro da estrela. Calcule o período aproximado do satélite tomando 4 \pi^{2} / \mathrm{GM}=3 \times 10^{\wedge}\{-34\} anos { }^{2} / \mathrm{m}^{3}.
\bigcirc 1 ano
\bigcirc 1,3 anos
\bigcirc 0,01 anos
\bigcirc 0,1 anos

Passo 1

O enunciado pede para calcular o período aproximado do cometa, dado o semieixo maior e uma constante relacionada a 4\pi^{2}/GM. As informações relevantes são:
  • semieixo maior: a = 3\times 10^{10}\\ \mathrm{m},
  • constante fornecida: \dfrac{4\pi^{2}}{GM}=3\times 10^{-34}\\ \text{anos}^{2}/\mathrm{m}^{3}.
    A pergunta é: qual o período P do cometa, em anos, usando esses dados?

Passo 2

Vamos usar a Terceira Lei de Kepler na forma apropriada para período e semieixo maior. A fórmula é
P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\,a^{3},
onde:
  • P é o período orbital (aqui em anos, porque a constante dada tem unidade \text{anos}^{2}/\mathrm{m}^{3}),
  • a é o semieixo maior (em metros),
  • \dfrac{4\pi^{2}}{GM} é a constante fornecida (já com unidades que convertem a^{3} em \text{anos}^{2}).
    Essa fórmula vem de igualar a força gravitacional centrípeta à segunda lei do movimento e simplificar para órbita elíptica ou circular; aqui podemos usá-la diretamente porque o enunciado nos deu exatamente a constante necessária.

Passo 3

Calcular a^{3}:
a^{3}=(3\times 10^{10})^{3}=3^{3}\times 10^{30}=27\times 10^{30}=2{,}7\times 10^{31}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Calcular o produto \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,a^{3} usando a constante dada:
P^{2}=\left(3\times 10^{-34}\right)\left(2{,}7\times 10^{31}\right).
Fazendo a multiplicação dos fatores numéricos:
3\times 2{,}7 = 8{,}1,
e somando os expoentes de 10:
10^{-34}\times 10^{31}=10^{-3}.
Logo
P^{2}=8{,}1\times 10^{-3}\\ \text{anos}^{2}.

Passo 5

Agora extraímos a raiz quadrada para obter P:
P=\sqrt{8{,}1\times 10^{-3}}=\sqrt{8{,}1}\times 10^{-3/2}.
Calculemos cada parte:
\sqrt{8{,}1}\approx 2{,}846\qquad\text{e}\qquad 10^{-3/2}=10^{-1{,}5}=10^{-1}\cdot 10^{-0{,}5}=0{,}1\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0{,}0316228.
Multiplicando:
P\approx 2{,}846\times 0{,}0316228\approx 0{,}08998\\ \text{anos}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (como nas opções), isso é \approx 0{,}1 anos.

Passo 6

Intuição rápida: 0{,}1 anos corresponde a cerca de 0{,}1\times 365\approx 36{,}5 dias, ou seja, um pouco mais de um mês — faz sentido para o valor pequeno de a dado (bem menor que a distância da Terra ao Sol).

Resposta

0{,}1 anos

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