Sobre a curva de velocidades de rotação das galáxia, é possível afirmar que a concepção da matéria escura decorre de uma inconsistência dos cálculos em que região?
\bigcirc No interior da galáxia. A velocidade de rotação observada é menor que a teórica
\bigcirc No interior da galáxia. A velocidade de rotação observada é maior que a teórica
\bigcirc No exterior da galáxia. A velocidade de rotação observada é maior que a teórica
\bigcirc No exterior da galáxia. A velocidade de rotação observada é menor que a teórica

Passo 1

O enunciado pergunta em que região das galáxias existe uma inconsistência entre as velocidades de rotação observadas e as teóricas, e como essa discrepância se manifesta (observada maior/menor que a teórica). As opções são:
No interior da galáxia. A velocidade de rotação observada é menor que a teórica.
No interior da galáxia. A velocidade de rotação observada é maior que a teórica.
No exterior da galáxia. A velocidade de rotação observada é maior que a teórica.
No exterior da galáxia. A velocidade de rotação observada é menor que a teórica.
Informações relevantes dadas ou implicadas pelo enunciado que vou usar:
  • Falamos de curvas de velocidade de rotação em função da distância r ao centro galáctico.
  • Há uma previsão teórica da velocidade circular baseada na massa interior a r.
  • Existe uma velocidade observada obtida por medidas (linhas de emissão, doppler etc.) que pode divergir da previsão teórica.

Passo 2

Vamos obter a fórmula teórica para a velocidade de rotação circular a uma distância r do centro, que é o ponto central para comparar com observações. A ideia física é: para uma estrela descrevendo órbita circular, a força centrípeta deve ser fornecida pela gravidade da massa interior a essa órbita.
A força centrípeta sobre uma massa m é \dfrac{m\,v(r)^2}{r}.
A força gravitacional (pela massa total interior a r) é dada por \dfrac{G\,m\,M(r)}{r^2}, onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M(r) é a massa total contida dentro do raio r (ou seja, a massa que efetivamente atrai a estrela),
  • v(r) é a velocidade orbital circular em função de r.
Igualando força centrípeta e gravitacional:
\frac{m\,v(r)^2}{r}=\frac{G\,m\,M(r)}{r^2}.
Cancelando m e rearranjando, obtemos a expressão bem usada:
v(r)=\sqrt{\frac{G\,M(r)}{r}}.
Aqui M(r) é crucial: se M(r) cresce com r, v(r) pode ter comportamento diferente; se M(r) se estabiliza, v(r) tende a cair como r^{-1/2}.

Passo 3

Agora interpretamos a distribuição de massa visível (estrelas e gás) típica: a maior parte da massa luminosa está concentrada no disco central e no bojo; além de um certo raio (o “limite visível” do disco) a massa visível adicional é muito pequena. Em termos simples, para r grande comparado ao disco visível, podemos aproximar M(r) (massa visível) como praticamente constante, M(r)\approx M_{\text{visível}}í.
Substituindo no resultado teórico:
v_{\text{teórica}}(r)=\sqrt{\frac{G\,M_{\text{visível}}}{r}}\propto r^{-1/2}.óí
Isso significa que, se só existisse a massa visível concentrada no interior, a velocidade deveria diminuir quando r aumenta — a famosa queda v\sim 1/\sqrt{r}.

Passo 4

Agora vemos o que as observações realmente mostram. Medições das velocidades de rotação de muitas galáxias indicam que, em vez de cair, a curva de rotação se mantém aproximadamente constante para grandes r:
v_{\text{observada}}(r)\approx \text{constante para } r \text{ grande}.
Comparando com a previsão teórica baseada apenas na massa visível, para grandes r temos
v_{\text{observada}}(r)>\;v_{\text{teórica}}(r).ó
Ou seja: a velocidade observada é maior do que a prevista se considerarmos só a massa que vemos. A discrepância aparece claramente na região exterior da galáxia (além do disco visível).

Passo 5

Explico também por que essa discrepância levou à ideia de matéria escura. Se v_{\text{observada}}(r) é aproximadamente constante, digamos v_0, então da fórmula inversa:
M(r)=\frac{v(r)^2\,r}{G}.
Para v(r)=v_0 constante, isso dá
M(r)=\frac{v_0^2}{G}\,r \quad\Rightarrow\quad M(r)\propto r.
Ou seja, a massa interior ao raio r teria que crescer linearmente com r muito além do disco visível — mas essa massa adicional não é emitora de luz detectável. Para explicar esse excesso de massa (necessária para manter v constante) os astrônomos propuseram que existe uma componente não luminosa: a chamada matéria escura distribuída em um “halo” estendido da galáxia.

Passo 6

Resumo e conclusão didática: a inconsistência entre observação e teoria, que motivou a hipótese da matéria escura, ocorre na região externa da galáxia, onde a velocidade observada é maior do que a velocidade teórica calculada a partir da massa visível.

Resposta

No exterior da galáxia. A velocidade de rotação observada é maior que a teórica.

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