Uma comissão de dois estudantes deve ser sorteada de um grupo de 5 alunas e 3 alunos.
Sejam os eventos:
-
“primeiro estudante sorteado é mulher”
“segundo estudante sorteado é mulher”
(a) Construa um diagrama de árvore que represente o espaço amostral deste experimento, indicando as probabilidades.
(b) Calcule
e
.
(c) Verifique se M1 e M2 são independentes.
(a) Construa um diagrama de árvore que represente o espaço amostral deste experimento, indicando as probabilidades.
(b) Calcule
(c) Verifique se M1 e M2 são independentes.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Informações dadas:
- Há um grupo com
alunas e alunos, total estudantes. - Sorteiam-se dois estudantes em sequência para formar uma comissão de dois (assumir sortear sem reposição, ou seja, a segunda retirada depende da primeira).
- Há um grupo com
- Eventos definidos:
-
= “o primeiro estudante sorteado é mulher”. -
= “o segundo estudante sorteado é mulher”.
-
- Perguntas:
(a) Construir um diagrama de árvore do experimento indicando as probabilidades.
(b) Calculare .
(c) Verificar see são independentes.
Agora começo a resolução passo a passo.
Passo 2
Explicando como montar a árvore (ideia básica): a árvore tem dois níveis — o primeiro nível corresponde ao resultado do primeiro sorteio (mulher ou homem) com suas probabilidades; o segundo nível dá os ramos condicionais para o segundo sorteio, que dependem do que saiu no primeiro sorteio. Primeiro calculamos as probabilidades iniciais:
- Probabilidade de tirar mulher no primeiro sorteio:
- Probabilidade de tirar homem no primeiro sorteio:
Essas são as probabilidades dos ramos do nível 1 da árvore.
Passo 3
Agora os ramos do segundo nível (probabilidades condicionais):
- Se o primeiro foi mulher, sobram
mulheres e homens no total de pessoas; então - Se o primeiro foi homem, sobram
mulheres e homens no total de pessoas; então
Isso completa as probabilidades condicionais dos ramos do segundo nível da árvore.
Passo 4
Calcular as probabilidades conjuntas de cada caminho (multiplicando ao longo do caminho da árvore). Há quatro resultados possíveis ordenados (primeiro, segundo):
(W = woman, M = man).
- Para
(mulher, depois mulher): - Para
(mulher, depois homem): - Para
(homem, depois mulher): - Para
(homem, depois homem):
Checando:
, boa — soma das probabilidades é
.
(O diagrama de árvore mental/impresso tem os ramos: 1º nível: W
, M
. A cada ramo, os ramos do 2º nível com as probabilidades condicionais indicadas acima; os produtos dão as probabilidades conjuntas listadas.)
Passo 5
Calcular
. Isso é a probabilidade de o primeiro sorteado ser mulher. Já vimos diretamente:
Também pode-se somar os caminhos que têm mulher no primeiro sorteio (
e
):
Passo 6
Calcular
. Aqui é a probabilidade de o segundo sorteado ser mulher. Podemos usar a regra da probabilidade total condicionando ao resultado do primeiro sorteio:
Substituindo os valores que já achamos:
Uma forma mais intuitiva: por simetria na amostragem aleatória sem reposição, a distribuição do segundo sorteado é a mesma do primeiro, então
.
Passo 7
Verificar independência entre
e
.
Definição prática:
e
são independentes se, e somente se,
Já temos:
E
Comparando:
são diferentes. Portanto
e
não são independentes — saber o resultado do primeiro sorteio altera (ligeiramente) as probabilidades do segundo sorteio, porque a amostragem é sem reposição.
Resposta
(a) Espaço com caminhos e probabilidades:
,
,
,
.
(b) ,
.
(c) Não; .
(b)
(c) Não;