Uma comissão de dois estudantes deve ser sorteada de um grupo de 5 alunas e 3 alunos.
Sejam os eventos:
  • M 1= “primeiro estudante sorteado é mulher”
    M 2= “segundo estudante sorteado é mulher”
    (a) Construa um diagrama de árvore que represente o espaço amostral deste experimento, indicando as probabilidades.
    (b) Calcule P(M 1) e P(M 2).
    (c) Verifique se M1 e M2 são independentes.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Informações dadas:
    • Há um grupo com \,5 alunas e \,3 alunos, total \,8 estudantes.
    • Sorteiam-se dois estudantes em sequência para formar uma comissão de dois (assumir sortear sem reposição, ou seja, a segunda retirada depende da primeira).
  • Eventos definidos:
    • M1 = “o primeiro estudante sorteado é mulher”.
    • M2 = “o segundo estudante sorteado é mulher”.
  • Perguntas:
    (a) Construir um diagrama de árvore do experimento indicando as probabilidades.
    (b) Calcular P(M1) e P(M2).
    (c) Verificar se M1 e M2 são independentes.
Agora começo a resolução passo a passo.

Passo 2

Explicando como montar a árvore (ideia básica): a árvore tem dois níveis — o primeiro nível corresponde ao resultado do primeiro sorteio (mulher ou homem) com suas probabilidades; o segundo nível dá os ramos condicionais para o segundo sorteio, que dependem do que saiu no primeiro sorteio. Primeiro calculamos as probabilidades iniciais:
  • Probabilidade de tirar mulher no primeiro sorteio: P(\text{mulher no 1º})=\frac{5}{8}.º
  • Probabilidade de tirar homem no primeiro sorteio: P(\text{homem no 1º})=\frac{3}{8}.º
Essas são as probabilidades dos ramos do nível 1 da árvore.

Passo 3

Agora os ramos do segundo nível (probabilidades condicionais):
  • Se o primeiro foi mulher, sobram 5-1=4 mulheres e 3 homens no total de 7 pessoas; então P(\text{mulher no 2º}\mid \text{mulher no 1º})=\frac{4}{7}, \qquad P(\text{homem no 2º}\mid \text{mulher no 1º})=\frac{3}{7}.ºººº
  • Se o primeiro foi homem, sobram 5 mulheres e 3-1=2 homens no total de 7 pessoas; então P(\text{mulher no 2º}\mid \text{homem no 1º})=\frac{5}{7}, \qquad P(\text{homem no 2º}\mid \text{homem no 1º})=\frac{2}{7}.ºººº
Isso completa as probabilidades condicionais dos ramos do segundo nível da árvore.

Passo 4

Calcular as probabilidades conjuntas de cada caminho (multiplicando ao longo do caminho da árvore). Há quatro resultados possíveis ordenados (primeiro, segundo): WW, WM, MW, MM (W = woman, M = man).
  • Para WW (mulher, depois mulher): P(WW)=P(\text{mulher no 1º})\cdot P(\text{mulher no 2º}\mid \text{mulher no 1º}) =\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}.ººº
  • Para WM (mulher, depois homem): P(WM)=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}.
  • Para MW (homem, depois mulher): P(MW)=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{56}.
  • Para MM (homem, depois homem): P(MM)=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}.
Checando: \dfrac{20+15+15+6}{56}=1, boa — soma das probabilidades é 1.
(O diagrama de árvore mental/impresso tem os ramos: 1º nível: W \frac{5}{8}, M \frac{3}{8}. A cada ramo, os ramos do 2º nível com as probabilidades condicionais indicadas acima; os produtos dão as probabilidades conjuntas listadas.)

Passo 5

Calcular P(M1). Isso é a probabilidade de o primeiro sorteado ser mulher. Já vimos diretamente:
P(M1)=\frac{5}{8}.
Também pode-se somar os caminhos que têm mulher no primeiro sorteio ( WW e WM):
P(M1)=P(WW)+P(WM)=\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}.

Passo 6

Calcular P(M2). Aqui é a probabilidade de o segundo sorteado ser mulher. Podemos usar a regra da probabilidade total condicionando ao resultado do primeiro sorteio:
P(M2)=P(M2\mid M1)P(M1)+P(M2\mid M1^c)P(M1^c).
Substituindo os valores que já achamos:
P(M2)=\frac{4}{7}\cdot\frac{5}{8}+\frac{5}{7}\cdot\frac{3}{8} =\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}.
Uma forma mais intuitiva: por simetria na amostragem aleatória sem reposição, a distribuição do segundo sorteado é a mesma do primeiro, então P(M2)=P(M1)=\tfrac{5}{8}.

Passo 7

Verificar independência entre M1 e M2.
Definição prática: M1 e M2 são independentes se, e somente se,
P(M1\cap M2)=P(M1)\,P(M2).
Já temos:
P(M1\cap M2)=P(WW)=\frac{5}{14}.
E
P(M1)\,P(M2)=\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{64}.
Comparando:
\frac{5}{14}\approx 0{,}35714,\qquad \frac{25}{64}\approx 0{,}390625,
são diferentes. Portanto M1 e M2 não são independentes — saber o resultado do primeiro sorteio altera (ligeiramente) as probabilidades do segundo sorteio, porque a amostragem é sem reposição.

Resposta

(a) Espaço com caminhos e probabilidades: P(WW)=\dfrac{5}{14}, P(WM)=\dfrac{15}{56}, P(MW)=\dfrac{15}{56}, P(MM)=\dfrac{3}{28}.
(b) P(M1)=\dfrac{5}{8}, \;P(M2)=\dfrac{5}{8}.
(c) Não; P(M1\cap M2)=\dfrac{5}{14}\neq\dfrac{25}{64}=P(M1)P(M2).

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