Solicita-se a dois estudantes, Maria e Pedro, que resolvam determinado problema. Eles trabalham na solução do mesmo independentemente, e têm, respectivamente, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolvê-lo.
(a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
(b) Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido?
(c) Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (cada dado numérico foi retirado do enunciado).
  • Maria resolve o problema com probabilidade \,P(M)=0,8.
  • Pedro resolve o problema com probabilidade \,P(P)=0,7.
  • Eles trabalham independentemente (isso significa que eventos de Maria e Pedro resolverem são independentes).
As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
(b) Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido (isto é, pelo menos um dos dois)?
(c) Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro?

Passo 2

Definições e traduções para probabilidades que usaremos:
  • \,M = evento “Maria resolve”. Logo o complemento \,M^{c} = “Maria não resolve” e \,P(M^{c})=1-P(M).
  • \,P = evento “Pedro resolve”. Logo o complemento \,P^{c} = “Pedro não resolve” e \,P(P^{c})=1-P(P).
    Como os eventos são independentes, para quaisquer dois eventos A e B vale \,P(A\cap B)=P(A)\,P(B). Vou calcular os complementos numéricos que serão úteis:
P(M^{c})=1- P(M)=1-0,8=0,2, \qquad P(P^{c})=1- P(P)=1-0,7=0,3.

Passo 3

Resposta da letra (a): “nenhum deles resolve” é o evento \,M^{c}\cap P^{c}. Pela independência,
P(M^{c}\cap P^{c})=P(M^{c})\cdot P(P^{c})=0,2\cdot 0,3.
Faço a multiplicação passo a passo: 0,2\cdot0,3=0,06. Então a probabilidade pedida em (a) é \,0,06.

Passo 4

Vamos resolver a letra (b) usando a ideia do complementar (é o caminho mais rápido): “o problema ser resolvido” = “pelo menos um resolve” = evento \,M\cup P. O complementar é “nenhum resolve” que já calculamos. Assim vale
P(M\cup P)=1-P(M^{c}\cap P^{c})=1-0,06=0,94.
Explicando a regra do complementar: a soma das probabilidades de um evento e do seu complemento é 1; portanto a probabilidade de “ao menos um” é 1 menos a probabilidade de “nenhum”.

Passo 5

(Verificação alternativa, por reforço didático) Outra forma — fórmula da união para dois eventos — é
P(M\cup P)=P(M)+P(P)-P(M\cap P).
Como são independentes, P(M\cap P)=P(M)P(P)=0,8\cdot0,7=0,56. Então
P(M\cup P)=0,8+0,7-0,56=1,5-0,56=0,94,
que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Letra (c): queremos P(\text{apenas Pedro} \mid \text{problema resolvido}).
“apenas Pedro” é o evento \,P\cap M^{c}. Primeiro calculo a probabilidade conjunta:
P(P\cap M^{c})=P(P)\,P(M^{c})=0,7\cdot0,2=0,14.
A probabilidade condicional, pela definição, é
P\big(P\cap M^{c}\mid M\cup P\big)=\frac{P(P\cap M^{c})}{P(M\cup P)}=\frac{0,14}{0,94}.
Faço a simplificação da fração: \dfrac{0,14}{0,94}=\dfrac{14}{94}=\dfrac{7}{47}. Em decimal isso dá aproximadamente 0,148936\ldots. Usando vírgula como separador decimal:
\frac{7}{47}\approx 0,148936\ldots \approx 0,1489\\ (\text{arredondando a 4 casas}).

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (para te incentivar): a chance de ninguém resolver era bem pequena ( 6\%), a chance de pelo menos um resolver é grande ( 94\%), e se soubermos que o problema foi resolvido, a probabilidade de que tenha sido apenas o Pedro é cerca de 14{,}9\% — ou exatamente \dfrac{7}{47}. Boa! Isso é tudo o que precisa para a prova sobre probabilidade de eventos independentes e probabilidade condicional. Força nos estudos — você tá indo bem!

Resposta

(a) 0,06
(b) 0,94
(c) \dfrac{7}{47}\approx0,148936

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