Solicita-se a dois estudantes, Maria e Pedro, que resolvam determinado problema. Eles trabalham na solução do mesmo independentemente, e têm, respectivamente, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolvê-lo.
(a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
(b) Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido?
(c) Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro?
(a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
(b) Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido?
(c) Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (cada dado numérico foi retirado do enunciado).
- Maria resolve o problema com probabilidade
. - Pedro resolve o problema com probabilidade
. - Eles trabalham independentemente (isso significa que eventos de Maria e Pedro resolverem são independentes).
As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
(b) Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido (isto é, pelo menos um dos dois)?
(c) Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro?
(a) Qual é a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?
(b) Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido (isto é, pelo menos um dos dois)?
(c) Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro?
Passo 2
Definições e traduções para probabilidades que usaremos:
-
= evento “Maria resolve”. Logo o complemento = “Maria não resolve” e . -
= evento “Pedro resolve”. Logo o complemento = “Pedro não resolve” e .
Como os eventos são independentes, para quaisquer dois eventose vale . Vou calcular os complementos numéricos que serão úteis:
Passo 3
Resposta da letra (a): “nenhum deles resolve” é o evento
. Pela independência,
Faço a multiplicação passo a passo:
. Então a probabilidade pedida em (a) é
.
Passo 4
Vamos resolver a letra (b) usando a ideia do complementar (é o caminho mais rápido): “o problema ser resolvido” = “pelo menos um resolve” = evento
. O complementar é “nenhum resolve” que já calculamos. Assim vale
Explicando a regra do complementar: a soma das probabilidades de um evento e do seu complemento é
; portanto a probabilidade de “ao menos um” é
menos a probabilidade de “nenhum”.
Passo 5
(Verificação alternativa, por reforço didático) Outra forma — fórmula da união para dois eventos — é
Como são independentes,
. Então
que confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Letra (c): queremos
.
“apenas Pedro” é o evento . Primeiro calculo a probabilidade conjunta:
“apenas Pedro” é o evento
A probabilidade condicional, pela definição, é
Faço a simplificação da fração:
. Em decimal isso dá aproximadamente
. Usando vírgula como separador decimal:
Passo 7
Resumo e interpretação rápida (para te incentivar): a chance de ninguém resolver era bem pequena (
), a chance de pelo menos um resolver é grande (
), e se soubermos que o problema foi resolvido, a probabilidade de que tenha sido apenas o Pedro é cerca de
— ou exatamente
. Boa! Isso é tudo o que precisa para a prova sobre probabilidade de eventos independentes e probabilidade condicional. Força nos estudos — você tá indo bem!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)