Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • 8 homens disponíveis.
  • 5 mulheres disponíveis.
  • A comissão deve ter exatamente 3 homens e 3 mulheres.
Perguntas:
a) Quantas comissões possíveis existem com exatamente 3 homens e 3 mulheres?
b) Supondo que um homem específico (chamo-o de M) se recusa a participar se uma mulher específica (chamo-a de W) estiver na comissão, quantas comissões possíveis existem obedecendo essa restrição?

Passo 2

Conceito que vamos usar: combinação (escolha sem ordem). A combinação de n elementos tomados k a k é denotada por \binom{n}{k} e conta quantas maneiras diferentes existem de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Exemplos rápidos para ver a ideia: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. Importante: quando fazemos escolhas independentes em dois grupos (ex.: escolher homens e escolher mulheres), usamos a regra do produto: multiplicamos o número de escolhas de um grupo pelo número do outro.

Passo 3

Resolvendo a letra (a). Precisamos escolher 3 homens dentre 8 e 3 mulheres dentre 5. Pelo conceito de combinação e pela regra do produto:
\text{total}_a=\binom{8}{3}\cdot\binom{5}{3}.
Calculemos cada combinação:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56,
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.
Multiplicando,
\text{total}_a=56\cdot10=560.
Interpretação: existem 560 comissões possíveis com exatamente 3 homens e 3 mulheres.

Passo 4

Preparando a letra (b). A restrição é: não podem estar juntos M e W na mesma comissão. Uma maneira simples de contar é usar o princípio do complemento: contar todas as comissões (já achamos 560) e subtrair as comissões proibidas — ou seja, aquelas que contêm ambos M e W. Isso costuma ser mais rápido do que separar muitos casos.

Passo 5

Contando as comissões proibidas (que contêm tanto M quanto W). Se uma comissão já contém M e W, falta escolher:
  • mais 2 homens dentre os 7 homens restantes (pois M já está escolhido),
  • mais 2 mulheres dentre as 4 mulheres restantes (pois W já está escolhida).
Logo o número de comissões proibidas é
\binom{7}{2}\cdot\binom{4}{2}.
Calculemos:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21,
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Multiplicando,
\text{proibidas}=21\cdot6=126.

Passo 6

Aplicando o complemento: o número de comissões válidas (que não violam a restrição) é
\text{total}_b=\text{total}_a-\text{proibidas}=560-126=434.
Interpretação: existem 434 comissões que respeitam a condição de que M não esteja junto com W.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, serve para confirmar): contar diretamente por casos:
  • Caso 1: W não está na comissão. Então escolhemos 3 mulheres entre as 4 restantes: \binom{4}{3}=4. Homens livres: \binom{8}{3}=56. Total do caso 1: 4\cdot56=224.
  • Caso 2: W está na comissão, então M deve ficar de fora. Escolhemos 2 mulheres entre as 4 restantes: \binom{4}{2}=6. Escolhemos 3 homens entre os 7 restantes (excluindo M): \binom{7}{3}=35. Total do caso 2: 6\cdot35=210.
    Somando 224+210=434, que bate com o resultado anterior — ótimo sinal de consistência.

Resposta

a) 560
b) 434

Exercícios relacionados