Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Dados fornecidos:
- Há
homens disponíveis. - Há
mulheres disponíveis. - A comissão deve ter exatamente
homens e mulheres.
Perguntas:
a) Quantas comissões possíveis existem com exatamente homens e
mulheres?
b) Supondo que um homem específico (chamo-o de ) se recusa a participar se uma mulher específica (chamo-a de
) estiver na comissão, quantas comissões possíveis existem obedecendo essa restrição?
a) Quantas comissões possíveis existem com exatamente
b) Supondo que um homem específico (chamo-o de
Passo 2
Conceito que vamos usar: combinação (escolha sem ordem). A combinação de
elementos tomados
a
é denotada por
e conta quantas maneiras diferentes existem de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa. A fórmula é
onde
(fatorial) é o produto
. Exemplos rápidos para ver a ideia:
. Importante: quando fazemos escolhas independentes em dois grupos (ex.: escolher homens e escolher mulheres), usamos a regra do produto: multiplicamos o número de escolhas de um grupo pelo número do outro.
Passo 3
Resolvendo a letra (a). Precisamos escolher
homens dentre
e
mulheres dentre
. Pelo conceito de combinação e pela regra do produto:
Calculemos cada combinação:
Multiplicando,
Interpretação: existem
comissões possíveis com exatamente
homens e
mulheres.
Passo 4
Preparando a letra (b). A restrição é: não podem estar juntos
e
na mesma comissão. Uma maneira simples de contar é usar o princípio do complemento: contar todas as comissões (já achamos
) e subtrair as comissões proibidas — ou seja, aquelas que contêm ambos
e
. Isso costuma ser mais rápido do que separar muitos casos.
Passo 5
Contando as comissões proibidas (que contêm tanto
quanto
). Se uma comissão já contém
e
, falta escolher:
- mais
homens dentre os homens restantes (pois já está escolhido), - mais
mulheres dentre as mulheres restantes (pois já está escolhida).
Logo o número de comissões proibidas é
Calculemos:
Multiplicando,
Passo 6
Aplicando o complemento: o número de comissões válidas (que não violam a restrição) é
Interpretação: existem
comissões que respeitam a condição de que
não esteja junto com
.
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, serve para confirmar): contar diretamente por casos:
- Caso 1:
não está na comissão. Então escolhemos mulheres entre as restantes: . Homens livres: . Total do caso 1: . - Caso 2:
está na comissão, então deve ficar de fora. Escolhemos mulheres entre as restantes: . Escolhemos homens entre os restantes (excluindo ): . Total do caso 2: .
Somando, que bate com o resultado anterior — ótimo sinal de consistência.
Resposta
a)
b)
b)