No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no fim da festa?

Passo 1

O enunciado diz que no início da festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças desacompanhadas. A pergunta é: quantos são os estados possíveis no fim da festa?
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • 6 rapazes distintos e 10 moças distintas.
  • No fim da festa podem formar-se pares (casais) entre rapazes e moças; cada pessoa participa em, no máximo, um casal (ou fica sozinha).
    Observação (assunção natural do problema): estamos a contar estados em que cada casal é um par formado por um rapaz e uma moça, não consideramos grupos maiores nem múltiplos parceiros por pessoa; a ordem entre casais não importa e dentro do casal a ordem também não importa.

Passo 2

Vamos pensar por quantos casais podem ser formados. Como há apenas 6 rapazes, o número de casais possíveis k pode ser qualquer inteiro entre 0 e 6 (inclusive). Para cada escolha de k casais teremos de contar de quantas maneiras isso pode ocorrer (quais rapazes, quais moças e como emparelhar).

Passo 3

Para um valor fixo de k casais, o procedimento para construir um estado é:
  1. escolher quais k rapazes entre os 6 irão ficar em casal; isso pode ser feito de \binom{6}{k} maneiras;
  2. escolher quais k moças entre as 10 irão formar os casais; isso pode ser feito de \binom{10}{k} maneiras;
  3. emparelhar essas k rapazes escolhidos com essas k moças escolhidas. Como os rapazes e as moças são todos distintos e os pares são específicos, o número de maneiras de emparelhar os k rapazes com as k moças é k! (permutações de k elementos).
    Pelo princípio multiplicativo (regra do produto), para um dado k o número de estados com exatamente k casais é
\binom{6}{k}\binom{10}{k}k!.

Passo 4

Como k pode variar de 0 até 6, o número total de estados possíveis é a soma sobre todos os k:
\sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k}\binom{10}{k}k!.
Uma forma equivalente de ver cada termo é \binom{6}{k}\,P(10,k), onde P(10,k)=10\cdot9\cdot\ldots\cdot(10-k+1) é o número de arranjos/permissões de k moças escolhidas entre 10.

Passo 5

Vamos calcular explicitamente cada termo (aqui eu explico cada passo para você reproduzir sem calculadora):
  • Para k=0: \binom{6}{0}\binom{10}{0}0! = 1. (Nenhum casal; todo mundo sozinho.)
  • Para k=1: \binom{6}{1}\binom{10}{1}1! = 6\cdot10\cdot1 = 60.
    Explicação: escolher 1 rapaz entre 6 e 1 moça entre 10 e emparelhar (só há 1 jeito).
  • Para k=2: \binom{6}{2}\binom{10}{2}2! = 15\cdot45\cdot2 = 15\cdot90 = 1350.
    (Aqui \binom{10}{2}=45 e 2!=2.)
  • Para k=3: \binom{6}{3}\binom{10}{3}3! = 20\cdot120\cdot6 = 20\cdot720 = 14400.
    (Pois \binom{10}{3}=120 e 3!=6.)
  • Para k=4: \binom{6}{4}\binom{10}{4}4! = 15\cdot210\cdot24 = 15\cdot5040 = 75600.
    (Pois \binom{10}{4}=210 e 4!=24.)
  • Para k=5: \binom{6}{5}\binom{10}{5}5! = 6\cdot252\cdot120 = 6\cdot30240 = 181440.
    (Pois \binom{10}{5}=252 e 5!=120.)
  • Para k=6: \binom{6}{6}\binom{10}{6}6! = 1\cdot210\cdot720 = 1\cdot151200 = 151200.
    (Pois \binom{10}{6}=210 e 6!=720.)

Passo 6

Agora somamos todos os casos para obter o total de estados:
1 + 60 + 1350 + 14400 + 75600 + 181440 + 151200.

Resposta

424051

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