No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no fim da festa?
Passo 1
O enunciado diz que no início da festa há
rapazes desacompanhados e
moças desacompanhadas. A pergunta é: quantos são os estados possíveis no fim da festa?
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Há
rapazes distintos e moças distintas. - No fim da festa podem formar-se pares (casais) entre rapazes e moças; cada pessoa participa em, no máximo, um casal (ou fica sozinha).
Observação (assunção natural do problema): estamos a contar estados em que cada casal é um par formado por um rapaz e uma moça, não consideramos grupos maiores nem múltiplos parceiros por pessoa; a ordem entre casais não importa e dentro do casal a ordem também não importa.
Passo 2
Vamos pensar por quantos casais podem ser formados. Como há apenas
rapazes, o número de casais possíveis
pode ser qualquer inteiro entre
e
(inclusive). Para cada escolha de
casais teremos de contar de quantas maneiras isso pode ocorrer (quais rapazes, quais moças e como emparelhar).
Passo 3
Para um valor fixo de
casais, o procedimento para construir um estado é:
- escolher quais
rapazes entre os irão ficar em casal; isso pode ser feito de maneiras; - escolher quais
moças entre as irão formar os casais; isso pode ser feito de maneiras; - emparelhar essas
rapazes escolhidos com essas moças escolhidas. Como os rapazes e as moças são todos distintos e os pares são específicos, o número de maneiras de emparelhar os rapazes com as moças é (permutações de elementos).
Pelo princípio multiplicativo (regra do produto), para um dadoo número de estados com exatamente casais é
Passo 4
Como
pode variar de
até
, o número total de estados possíveis é a soma sobre todos os
:
Uma forma equivalente de ver cada termo é
, onde
é o número de arranjos/permissões de
moças escolhidas entre
.
Passo 5
Vamos calcular explicitamente cada termo (aqui eu explico cada passo para você reproduzir sem calculadora):
- Para
: . (Nenhum casal; todo mundo sozinho.) - Para
: .
Explicação: escolher 1 rapaz entre 6 e 1 moça entre 10 e emparelhar (só há 1 jeito). - Para
: .
(Aquie .) - Para
: .
(Poise .) - Para
: .
(Poise .) - Para
: .
(Poise .) - Para
: .
(Poise .)
Passo 6
Agora somamos todos os casos para obter o total de estados: