Um comitê será formado por dois gerentes e quatro engenheiros selecionados aleatoriamente, sem reposição, a partir de nove gerentes e 18 engenheiros.
Cada um dos engenheiros difere em anos de experiência. Qual é a probabilidade de que as engenheiras mais e menos experientes estejam no comité?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 9 gerentes e 18 engenheiros.
  • O comitê será formado por 2 gerentes e 4 engenheiros, escolhidos aleatoriamente sem reposição.
  • Entre os 18 engenheiros existe um mais experiente e um menos experiente (dois engenheiros especiais, distintos).
    O que o problema pede:
  • A probabilidade de que ambos — a engenheira mais experiente e a engenheira menos experiente — estejam no comitê (ou seja, que os dois engenheiros especiais estejam entre os 4 engenheiros escolhidos).

Passo 2

Entendendo como contar todas as seleções possíveis (espaço amostral):
  • Para escolher 2 gerentes entre 9 o número de maneiras é \displaystyle \binom{9}{2}.
  • Para escolher 4 engenheiros entre 18 o número de maneiras é \displaystyle \binom{18}{4}.
    Como as escolhas de gerentes e engenheiros são independentes, o número total de comitês possíveis é
\text{Total}=\binom{9}{2}\cdot\binom{18}{4}.
Breve explicação de combinação: \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} é o número de formas de escolher k objetos entre n sem ordem. Aqui n e k são inteiros com 0\le k\le n.

Passo 3

Contando as seleções favoráveis (as que incluem os dois engenheiros especiais):
  • Os 2 gerentes podem ser escolhidos de qualquer forma: \displaystyle \binom{9}{2} maneiras (não há restrição sobre gerentes).
  • Entre os engenheiros, queremos que os dois especiais estejam no comitê. Então já temos esses dois escolhidos; faltam escolher 4-2=2 engenheiros adicionais entre os 16 engenheiros restantes (os 18 totais menos os 2 especiais). O número de maneiras é \displaystyle \binom{16}{2}.
    Portanto o número de comitês favoráveis é
\text{Favoráveis}=\binom{9}{2}\cdot\binom{16}{2}.á

Passo 4

Construindo a probabilidade como razão:
P=\frac{\text{Favoráveis}}{\text{Total}}=\frac{\binom{9}{2}\cdot\binom{16}{2}}{\binom{9}{2}\cdot\binom{18}{4}}=\frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}.á
Explicação: o fator \displaystyle \binom{9}{2} dos gerentes cancela porque não afeta a condição sobre os engenheiros.

Passo 5

Calculando numericamente:
\binom{16}{2}=\frac{16\cdot15}{2}=120, \qquad \binom{18}{4}=\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=3060.
Logo
P=\frac{120}{3060}=\frac{2}{51}\approx 0,0392.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem alternativa:
  • A fórmula \displaystyle \frac{\binom{2}{2}\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}} é a mesma (escolher exatamente os 2 especiais e mais 2 quaisquer), o que confirma o resultado.
  • Em palavras: a chance de que ambos os engenheiros extremos de experiência apareçam juntos entre os 4 escolhidos é pequena, cerca de 3,92\%. Força aí — isso é típico de amostras pequenas tiradas de populações maiores!

Resposta

\dfrac{2}{51}

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