Um comitê será formado por dois gerentes e quatro engenheiros selecionados aleatoriamente, sem reposição, a partir de nove gerentes e 18 engenheiros.
Cada um dos engenheiros difere em anos de experiência. Qual é a probabilidade de que as engenheiras mais e menos experientes estejam no comité?
Cada um dos engenheiros difere em anos de experiência. Qual é a probabilidade de que as engenheiras mais e menos experientes estejam no comité?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
gerentes e engenheiros. - O comitê será formado por
gerentes e engenheiros, escolhidos aleatoriamente sem reposição. - Entre os
engenheiros existe um mais experiente e um menos experiente (dois engenheiros especiais, distintos).
O que o problema pede: - A probabilidade de que ambos — a engenheira mais experiente e a engenheira menos experiente — estejam no comitê (ou seja, que os dois engenheiros especiais estejam entre os
engenheiros escolhidos).
Passo 2
Entendendo como contar todas as seleções possíveis (espaço amostral):
- Para escolher
gerentes entre o número de maneiras é . - Para escolher
engenheiros entre o número de maneiras é .
Como as escolhas de gerentes e engenheiros são independentes, o número total de comitês possíveis é
Breve explicação de combinação:
é o número de formas de escolher
objetos entre
sem ordem. Aqui
e
são inteiros com
.
Passo 3
Contando as seleções favoráveis (as que incluem os dois engenheiros especiais):
- Os
gerentes podem ser escolhidos de qualquer forma: maneiras (não há restrição sobre gerentes). - Entre os engenheiros, queremos que os dois especiais estejam no comitê. Então já temos esses dois escolhidos; faltam escolher
engenheiros adicionais entre os engenheiros restantes (os totais menos os 2 especiais). O número de maneiras é .
Portanto o número de comitês favoráveis é
Passo 4
Construindo a probabilidade como razão:
Explicação: o fator
dos gerentes cancela porque não afeta a condição sobre os engenheiros.
Passo 5
Calculando numericamente:
Logo
Passo 6
Interpretação rápida e checagem alternativa:
- A fórmula
é a mesma (escolher exatamente os 2 especiais e mais 2 quaisquer), o que confirma o resultado. - Em palavras: a chance de que ambos os engenheiros extremos de experiência apareçam juntos entre os 4 escolhidos é pequena, cerca de
. Força aí — isso é típico de amostras pequenas tiradas de populações maiores!