(Montgomery-7ed) Determine o espaço amostral para o seguinte experimento aleatório: sabe-se que o tempo de entrega de certo produto está dentro do intervalo de 10 a 46 horas. Considere um experimento que registra o tempo para dois produtos independentes a partir do respesctivo pedido até a chegada ao respectivo local desejado.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pedidos:
  • Informação: o tempo de entrega de um produto está dentro do intervalo [10,46] horas.
  • Experimento: registrar o tempo de entrega para dois produtos independentes (cada um, do pedido até a chegada).
  • Pergunta: determinar o espaço amostral desse experimento (isto é, listar todos os possíveis resultados elementares).

Passo 2

Entendendo o caso de um único produto.
Um único registro de tempo é um número real que varia entre [10,46]. Cada possível resultado para um produto é um ponto da forma \,t com \,t\in[10,46]. Esse conjunto de resultados possíveis para um produto é o intervalo
[10,46].
Explicando: [10,46] significa todos os números reais t tais que 10\le t\le 46. Um ponto amostral para um produto poderia ser, por exemplo, \,t=12{,}5 horas (escrito \,12{,}5 em TeX usando vírgula decimal conforme as regras).

Passo 3

Dois registros (dois produtos) dão um par ordenado.
Quando registramos os tempos de dois produtos, cada resultado do experimento é um par ordenado (t_1,t_2), onde:
  • \,t_1 é o tempo do primeiro produto e \,t_1\in[10,46],
  • \,t_2 é o tempo do segundo produto e \,t_2\in[10,46].
Por que par ordenado? Porque normalmente faz diferença qual produto chamamos de “primeiro” e qual de “segundo” — (12,20) não é o mesmo que (20,12) enquanto resultados experimentais ordenados.

Passo 4

Definição do espaço amostral via produto cartesiano.
O conjunto de todos os pares possíveis é o produto cartesiano dos intervalos:
\Omega = [10,46]\times[10,46] = \{(t_1,t_2)\mid t_1\in[10,46],\; t_2\in[10,46]\}.
Isto é a descrição formal do espaço amostral: todos os pares ordenados cujas coordenadas pertencem a [10,46].

Passo 5

Interpretação geométrica e observações úteis.
Geometricamente, \Omega é um quadrado no plano (t_1,t_2) com vértices em (10,10), (10,46), (46,10) e (46,46). O lado do quadrado tem comprimento
46-10=36
e a área do quadrado é
36^{2}=1296.
Observação prática: se por algum motivo assumir-se uma distribuição uniforme sobre esse espaço (nem sempre o caso, mas é um exemplo didático), a probabilidade de um evento correspondente a uma região do quadrado seria a razão da área dessa região pela área total 1296.

Passo 6

Exemplos para fixar a ideia (bem concretos).
  • Um resultado possível é (t_1,t_2)=(15,30), escrito em TeX como (15,30) com 15\in[10,46] e 30\in[10,46].
  • O evento “ambos chegam em até 20 horas” é o subconjunto
\{(t_1,t_2)\mid 10\le t_1\le 20,\;10\le t_2\le 20\},
que corresponde a um quadrado menor no canto do quadrado total.

Resposta

\Omega=[10,46]\times[10,46]=\{(t_1,t_2)\mid t_1\in[10,46],\;t_2\in[10,46]\}

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