(Montgomery-7ed) Determine o espaço amostral para o seguinte experimento aleatório: sabe-se que o tempo de entrega de certo produto está dentro do intervalo de 10 a 46 horas. Considere um experimento que registra o tempo para dois produtos independentes a partir do respesctivo pedido até a chegada ao respectivo local desejado.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pedidos:
- Informação: o tempo de entrega de um produto está dentro do intervalo
horas. - Experimento: registrar o tempo de entrega para dois produtos independentes (cada um, do pedido até a chegada).
- Pergunta: determinar o espaço amostral desse experimento (isto é, listar todos os possíveis resultados elementares).
Passo 2
Entendendo o caso de um único produto.
Um único registro de tempo é um número real que varia entre . Cada possível resultado para um produto é um ponto da forma
com
. Esse conjunto de resultados possíveis para um produto é o intervalo
Um único registro de tempo é um número real que varia entre
Explicando:
significa todos os números reais
tais que
. Um ponto amostral para um produto poderia ser, por exemplo,
horas (escrito
em TeX usando vírgula decimal conforme as regras).
Passo 3
Dois registros (dois produtos) dão um par ordenado.
Quando registramos os tempos de dois produtos, cada resultado do experimento é um par ordenado , onde:
Quando registramos os tempos de dois produtos, cada resultado do experimento é um par ordenado
-
é o tempo do primeiro produto e , -
é o tempo do segundo produto e .
Por que par ordenado? Porque normalmente faz diferença qual produto chamamos de “primeiro” e qual de “segundo” —
não é o mesmo que
enquanto resultados experimentais ordenados.
Passo 4
Definição do espaço amostral via produto cartesiano.
O conjunto de todos os pares possíveis é o produto cartesiano dos intervalos:
O conjunto de todos os pares possíveis é o produto cartesiano dos intervalos:
Isto é a descrição formal do espaço amostral: todos os pares ordenados cujas coordenadas pertencem a
.
Passo 5
Interpretação geométrica e observações úteis.
Geometricamente, é um quadrado no plano
com vértices em
,
,
e
. O lado do quadrado tem comprimento
Geometricamente,
e a área do quadrado é
Observação prática: se por algum motivo assumir-se uma distribuição uniforme sobre esse espaço (nem sempre o caso, mas é um exemplo didático), a probabilidade de um evento correspondente a uma região do quadrado seria a razão da área dessa região pela área total
.
Passo 6
Exemplos para fixar a ideia (bem concretos).
- Um resultado possível é
, escrito em TeX como com e . - O evento “ambos chegam em até
horas” é o subconjunto
que corresponde a um quadrado menor no canto do quadrado total.