Um comitê será formado por dois gerentes e quatro engenheiros selecionados aleatoriamente, sem reposição, a partir de nove gerentes e 18 engenheiros.
Qual é a probabilidade de que a engenheira específica Jane e a gerente específica Mary estejam no comité?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 9 gerentes disponíveis.
  • 18 engenheiros disponíveis.
  • O comité terá 2 gerentes e 4 engenheiros, selecionados aleatoriamente sem reposição.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a engenheira específica Jane e a gerente específica Mary estejam ambos no comité?

Passo 2

Estratégia escolhida: contagem combinatória (princípio do espaço amostral equiprovável). Vou contar:
  • o número total de comitês possíveis respeitando a composição ( 2 gerentes e 4 engenheiros);
  • o número de comitês favoráveis (aqueles que contêm Mary e Jane).
    Depois a probabilidade será o quociente \dfrac{\text{favoráveis}}{\text{totais}}á.
Vou recordar o conceito de combinação: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto de n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Em prática, é comum calcular \binom{n}{k} por produto simplificado para não precisar dos fatoriais completos.

Passo 3

Calcular o número total de comitês possíveis:
  • Escolher 2 gerentes entre 9: \displaystyle \binom{9}{2}.
    Calculemos:
\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2\cdot1}=36.
  • Escolher 4 engenheiros entre 18: \displaystyle \binom{18}{4}.
    Calculemos com produto simplificado:
\binom{18}{4}=\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{73440}{24}=3060.
Portanto o número total de comitês é
\binom{9}{2}\binom{18}{4}=36\cdot3060=110160.

Passo 4

Calcular o número de comitês favoráveis (contendo Mary e Jane):
  • Mary deve estar entre os 2 gerentes. Como Mary já está incluída, falta escolher 1 gerente entre os 8 restantes: \displaystyle \binom{8}{1}=8.
  • Jane deve estar entre os 4 engenheiros. Como Jane já está incluída, falta escolher 3 engenheiros entre os 17 restantes: \displaystyle \binom{17}{3}.
    Calculemos \binom{17}{3}:
\binom{17}{3}=\frac{17\cdot16\cdot15}{3\cdot2\cdot1}=\frac{4080}{6}=680.
Assim o número de comitês favoráveis é
\binom{8}{1}\binom{17}{3}=8\cdot680=5440.

Passo 5

Agora a probabilidade pedida é
\frac{\text{favoráveis}}{\text{totais}}=\frac{5440}{110160}.á
Vamos simplificar a fração passo a passo:
\frac{5440}{110160}=\frac{68}{1377}\quad(\text{dividindo numerador e denominador por }80),
e
\frac{68}{1377}=\frac{4}{81}\quad(\text{dividindo por }17).
Como número aproximado,
\frac{4}{81}\approx 0,04938.

Passo 6

Observação alternativa (mais rápida): a seleção de gerentes e de engenheiros são independentes entre si (são escolhas de grupos disjuntos). A probabilidade de Mary estar entre os 2 gerentes é \dfrac{2}{9}. A probabilidade de Jane estar entre os 4 engenheiros é \dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}. Como são independentes, a probabilidade conjunta é
\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}=\frac{4}{81},
confirmando o resultado acima. Vai dar certo na prova — essa interpretação rápida é prática quando há grupos separados.

Resposta

\dfrac{4}{81}
\approx 0,04938

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