Um comitê será formado por dois gerentes e quatro engenheiros selecionados aleatoriamente, sem reposição, a partir de nove gerentes e 18 engenheiros.
Qual é a probabilidade de que a engenheira específica Jane e a gerente específica Mary estejam no comité?
Qual é a probabilidade de que a engenheira específica Jane e a gerente específica Mary estejam no comité?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
gerentes disponíveis. - Há
engenheiros disponíveis. - O comité terá
gerentes e engenheiros, selecionados aleatoriamente sem reposição. - Pergunta: qual a probabilidade de que a engenheira específica Jane e a gerente específica Mary estejam ambos no comité?
Passo 2
Estratégia escolhida: contagem combinatória (princípio do espaço amostral equiprovável). Vou contar:
- o número total de comitês possíveis respeitando a composição (
gerentes e engenheiros); - o número de comitês favoráveis (aqueles que contêm Mary e Jane).
Depois a probabilidade será o quociente.
Vou recordar o conceito de combinação:
é o número de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto de
sem considerar ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) é
. Em prática, é comum calcular
por produto simplificado para não precisar dos fatoriais completos.
Passo 3
Calcular o número total de comitês possíveis:
- Escolher
gerentes entre : .
Calculemos:
- Escolher
engenheiros entre : .
Calculemos com produto simplificado:
Portanto o número total de comitês é
Passo 4
Calcular o número de comitês favoráveis (contendo Mary e Jane):
- Mary deve estar entre os
gerentes. Como Mary já está incluída, falta escolher gerente entre os restantes: . - Jane deve estar entre os
engenheiros. Como Jane já está incluída, falta escolher engenheiros entre os restantes: .
Calculemos:
Assim o número de comitês favoráveis é
Passo 5
Agora a probabilidade pedida é
Vamos simplificar a fração passo a passo:
e
Como número aproximado,
Passo 6
Observação alternativa (mais rápida): a seleção de gerentes e de engenheiros são independentes entre si (são escolhas de grupos disjuntos). A probabilidade de Mary estar entre os
gerentes é
. A probabilidade de Jane estar entre os
engenheiros é
. Como são independentes, a probabilidade conjunta é
confirmando o resultado acima. Vai dar certo na prova — essa interpretação rápida é prática quando há grupos separados.