Se X subset R é compacto e f: X R é contínua, então f é limitada, isto é, existe c>0 tal que |f(x)| <= c para todo x in X.

Passo 1

O enunciado afirma que se XsubsetR é compacto e fcolon XtoR é contínua, então existe c>0 tal que
|f(x)|<= c forall,xin X
Estamos em Análise/Tópologia, e vamos usar dois fatos clássicos:
  1. A imagem de um compacto por uma função contínua é compacta.
  2. Em R, todo conjunto compacto é limitado (Teorema de Heine–Borel).

Passo 2

Como f é contínua e X é compacto, o conjunto
f(X)=,f(x)mid xin X
é compacto em R. Pelo Teorema de Heine–Borel, todo compacto em R é limitado. Logo, existe um número M>0 tal que
|y|<= M forall,yin f(X)

Passo 3

Como cada valor de f atinge algum yin f(X), temos
|f(x)|<= M forall,xin X
Basta então escolher c = M.

Resposta

Tomando
c = maxyin f(X)|y|,,
garantimos que |f(x)|<= c para todo xin X, isto é, f é limitada.

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