Se
é compacto e
é contínua, então
é limitada, isto é, existe
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado afirma que se
é compacto e
é contínua, então existe
tal que
Estamos em Análise/Tópologia, e vamos usar dois fatos clássicos:
- A imagem de um compacto por uma função contínua é compacta.
- Em
, todo conjunto compacto é limitado (Teorema de Heine–Borel).
Passo 2
Como
é contínua e
é compacto, o conjunto
é compacto em
. Pelo Teorema de Heine–Borel, todo compacto em
é limitado. Logo, existe um número
tal que
Passo 3
Como cada valor de
atinge algum
, temos
Basta então escolher
.
Resposta
Tomando
garantimos que
para todo
, isto é,
é limitada.