Determine o limite.
lim (x, y) (-3,1) x^2 y-x y^3x-y+2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o limite da função x^2 y - x y^3x - y + 2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (-3, 1). Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em várias direções e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores x = -3 e y = 1 na função para ver se conseguimos obter um resultado imediato.
Calculando o numerador:
x^2 y - x y^3 = (-3)^2 times 1 - (-3) times (1)^3 = 9 times 1 - (-3) times 1 = 9 + 3 = 12
Calculando o denominador:
x - y + 2 = -3 - 1 + 2 = -2
Então, a função fica:
12-2 = -6

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse resultado é consistente quando nos aproximamos do ponto (-3, 1) por diferentes caminhos. Isso é importante porque, em funções de duas variáveis, o limite pode depender da direção que escolhemos para nos aproximar.
Vamos testar alguns caminhos:
Caminho 1: Aproximar-se diretamente pelo eixo x, mantendo y = 1.
Substituindo y = 1 na função:
x^2 times 1 - x times 1^3x - 1 + 2 = x^2 - xx + 1
Calculando o limite quando x -3:
(-3)^2 - (-3)-3 + 1 = 9 + 3-2 = 12-2 = -6
Caminho 2:
Aproximar-se pela linha y = x.
Substituindo y = x na função:
x^2 times x - x times x^3x - x + 2 = x^3 - x^42
Calculando o limite quando x -3:
(-3)^3 - (-3)^42 = -27 - 812 = -1082 = -54

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de (-3, 1) por diferentes caminhos, obtemos resultados diferentes ( -6 e -54). Isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções, ou seja, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque os valores dependem do caminho de aproximação.

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