Determine o limite.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em várias direções e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores
e
na função para ver se conseguimos obter um resultado imediato.
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse resultado é consistente quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Isso é importante porque, em funções de duas variáveis, o limite pode depender da direção que escolhemos para nos aproximar.
Vamos testar alguns caminhos:
Caminho 1: Aproximar-se diretamente pelo eixo
, mantendo
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Caminho 2:
Aproximar-se pela linha .
Aproximar-se pela linha
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Passo 4
Observamos que ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, obtemos resultados diferentes (
e
). Isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções, ou seja, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque os valores dependem do caminho de aproximação.