Se a=lang<= 2,-1,3rang<=, b=lang<= 2,1,-1rang<= e c=lang<= 0,1,3rang<=, mostre que a times(b times c) neq (a times b) times c

Passo 1

O exercício dá os vetores a=lang<=2,-1,3rang<=, b=lang<=2,1,-1rang<= e c=lang<=0,1,3rang<= e pede para mostrar que o produto vetorial não é associativo, ou seja, que a times(b times c) neq (a times b) times c. Vamos usar a definição de produto vetorial via determinante 3×3.

Passo 2

Para calcular atimes(btimes c) primeiro achamos btimes c. Usando o determinante
btimes c= i & j & k 2 & 1 & -1 0 & 1 & 3 =i(1cdot3-(-1)cdot1)-j(2cdot3-(-1)cdot0)+k(2cdot1-1cdot0)
que dá btimes c=lang<=4,-6,2rang<=. Agora fazemos
atimes(btimes c)= i & j & k 2 & -1 & 3 4 & -6 & 2 =i((-1)cdot2-3cdot(-6))-j(2cdot2-3cdot4)+k(2cdot(-6)-(-1)cdot4)
que resulta em atimes(btimes c)=lang<=16,8,-8rang<=.

Passo 3

Agora calculamos (atimesb)timesc. Primeiro atimesb:
atimesb= i & j & k 2 & -1 & 3 2 & 1 & -1 =i((-1)cdot(-1)-3cdot1)-j(2cdot(-1)-3cdot2)+k(2cdot1-(-1)cdot2)
que dá atimesb=lang<=-2,8,4rang<=. Em seguida
(atimesb)timesc= i & j & k -2 & 8 & 4 0 & 1 & 3 =i(8cdot3-4cdot1)-j((-2)cdot3-4cdot0)+k((-2)cdot1-8cdot0)
que resulta em (atimesb)timesc=lang<=20,6,-2rang<=.

Passo 4

Comparando os dois vetores obtidos, vemos que lang<=16,8,-8rang<= neq lang<=20,6,-2rang<=, logo o produto vetorial não é associativo.

Resposta

atimes(btimes c)=lang<=16,8,-8rang<=neqlang<=20,6,-2rang<==(atimesb)timesc.

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