Em uma pesquisa foram medidos os teores de alumínio em diferentes solos onde é cultivada soja, registrando-se as respectivas produtividades. Os resultados obtidos são apresentados na tabela a seguir.
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1,47
1,23
0,93
0,35
0,56
0,47
0,43
0,05
em que:
-
representa o teor de alumínio, em
cc de solo;
-
representa a produtividade da soja, em t/ha.
Com base nesses dados, pede-se:
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interprete o coeficiente da regressão e a constante da regressão.
d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
e) Obter uma previsão da produtividade da soja para um teor de alumínio igual a
.
|
|
0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 |
|
|
1,47 | 1,23 | 0,93 | 0,35 | 0,56 | 0,47 | 0,43 | 0,05 |
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interprete o coeficiente da regressão e a constante da regressão.
d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
e) Obter uma previsão da produtividade da soja para um teor de alumínio igual a
Passo 1
O enunciado nos deu uma tabela com os pares
(peguei estes dados da tabela fornecida):
-
(teor de alumínio, em cc): . -
(produtividade da soja, em t/ha): .
O que o enunciado pede:
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação da regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interpretar o coeficiente angular (da regressão) e a constante (intercepto).
d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
e) Prever a produtividade para .
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação da regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interpretar o coeficiente angular (da regressão) e a constante (intercepto).
d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
e) Prever a produtividade para
Passo 2
Como fazer o diagrama de dispersão (instrução prática para a prova ou para plotar à mão/Excel):
- Cada par
é um ponto no plano cartesiano: por exemplo, o primeiro ponto é , o segundo , etc. - Coloca-se
no eixo horizontal e no eixo vertical e marca-se cada ponto. - Observação visual rápida (útil para interpretar a correlação): ao olhar os pontos, vê-se que conforme
aumenta (mais alumínio) a produtividade tende a diminuir — isso sugere correlação negativa.
Passo 3
Vou calcular as somas e as médias necessárias. Para
pontos, calculei:
As médias são
Comentário pedagógico: esses somatórios são a base para a fórmula da regressão e do coeficiente de correlação; eu somei cada coluna (
,
,
,
,
) e dividi por
para obter as médias.
Passo 4
Calcular as quantidades centrais usadas nas fórmulas (variâncias e covariância amostrais sem dividir por
, que são as somas de quadrados usadas em regressão):
Explicação didática:
mede a variabilidade de
em torno da média;
é a soma dos produtos das diferenças e indica se
e
variam juntos (positivo) ou em sentidos opostos (negativo);
mede a variabilidade de
.
Passo 5
Estimativa dos coeficientes da regressão linear simples
.
As fórmulas que usamos:
As fórmulas que usamos:
Substituindo os valores:
Portanto a equação ajustada é
Didática: a inclinação
diz quanto a variável dependente
muda, em média, quando
aumenta em uma unidade. A intercepto
é o valor previsto de
quando
(atenção: só faz sentido interpretar bem quando
está no intervalo plausível).
Passo 6
Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson
. Fórmula:
Substituindo:
Interpretação didática:
varia entre
e
. Aqui
indica uma correlação linear negativa forte entre teor de alumínio e produtividade: em geral, quanto maior
, menor
.
Passo 7
Cálculo do coeficiente de determinação
e interpretação:
Interpretação didática: cerca de
da variação total observada em
é explicada pela variação linear em
segundo este modelo. O restante (
) é variação não explicada (erros, outros fatores, ruído, não linearidades).
Passo 8
Previsão da produtividade para
. Usamos a equação ajustada:
Cálculo:
Comentário prático: esta é uma previsão pontual; para avaliar a precisão dessa previsão seria necessário um intervalo de confiança, mas a estimativa pontual é
t/ha.
Resposta
a) Diagrama de dispersão: pontos
(tendência negativa); coeficiente de correlação
.
b) Equação da regressão: .
c) Interpretação: coeficiente angular significa que, em média, a produtividade diminui cerca de
t/ha para cada aumento de
unidade de
(mE/100 cc); a constante
é o valor previsto de
quando
(interpretação prática limitada se
não for um caso real).
d) Coeficiente de determinação (ou
); isto indica que aproximadamente
da variabilidade de
é explicada pela variação linear em
.
e) Previsão para :
.
b) Equação da regressão:
c) Interpretação: coeficiente angular
d) Coeficiente de determinação
e) Previsão para