Em uma pesquisa foram medidos os teores de alumínio em diferentes solos onde é cultivada soja, registrando-se as respectivas produtividades. Os resultados obtidos são apresentados na tabela a seguir.
X 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Y 1,47 1,23 0,93 0,35 0,56 0,47 0,43 0,05
em que:
  • X representa o teor de alumínio, em \mathrm{mE} / 100 cc de solo;
  • Y representa a produtividade da soja, em t/ha.
Com base nesses dados, pede-se:
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação de regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interprete o coeficiente da regressão e a constante da regressão.
d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
e) Obter uma previsão da produtividade da soja para um teor de alumínio igual a X=0,9.

Passo 1

O enunciado nos deu uma tabela com os pares (X,Y) (peguei estes dados da tabela fornecida):
  • X (teor de alumínio, em \mathrm{mE}/100 cc): 0,6,\;0,8,\;1,0,\;1,2,\;1,4,\;1,6,\;1,8,\;2,0.
  • Y (produtividade da soja, em t/ha): 1,47,\;1,23,\;0,93,\;0,35,\;0,56,\;0,47,\;0,43,\;0,05.
O que o enunciado pede:
a) Construir o diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Estimar a equação da regressão linear simples que melhor se ajusta aos dados.
c) Interpretar o coeficiente angular (da regressão) e a constante (intercepto).
d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
e) Prever a produtividade para X=0,9.

Passo 2

Como fazer o diagrama de dispersão (instrução prática para a prova ou para plotar à mão/Excel):
  • Cada par (X_i,Y_i) é um ponto no plano cartesiano: por exemplo, o primeiro ponto é (0,6,\,1,47), o segundo (0,8,\,1,23), etc.
  • Coloca-se X no eixo horizontal e Y no eixo vertical e marca-se cada ponto.
  • Observação visual rápida (útil para interpretar a correlação): ao olhar os pontos, vê-se que conforme X aumenta (mais alumínio) a produtividade Y tende a diminuir — isso sugere correlação negativa.

Passo 3

Vou calcular as somas e as médias necessárias. Para n=8 pontos, calculei:
\sum X = 10{,}4,\qquad \sum Y = 5{,}49,\qquad \sum XY = 5{,}626,
\sum X^{2} = 15{,}2,\qquad \sum Y^{2} = 5{,}3831.
As médias são
\bar{X}=\frac{\sum X}{n}=\frac{10{,}4}{8}=1{,}3, \qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y}{n}=\frac{5{,}49}{8}=0{,}68625.
Comentário pedagógico: esses somatórios são a base para a fórmula da regressão e do coeficiente de correlação; eu somei cada coluna ( X, Y, X^2, Y^2, XY ) e dividi por n para obter as médias.

Passo 4

Calcular as quantidades centrais usadas nas fórmulas (variâncias e covariância amostrais sem dividir por n-1, que são as somas de quadrados usadas em regressão):
S_{xx}=\sum X^{2}-n\bar{X}^{2}=15{,}2-8\cdot(1{,}3)^{2}=15{,}2-13{,}52=1{,}68,
S_{xy}=\sum XY-n\bar{X}\bar{Y}=5{,}626-8\cdot(1{,}3)(0{,}68625)=5{,}626-7{,}137=-1{,}511,
S_{yy}=\sum Y^{2}-n\bar{Y}^{2}=5{,}3831-8\cdot(0{,}68625)^{2}=5{,}3831-3{,}7674375=1{,}6156625.
Explicação didática: S_{xx} mede a variabilidade de X em torno da média; S_{xy} é a soma dos produtos das diferenças e indica se X e Y variam juntos (positivo) ou em sentidos opostos (negativo); S_{yy} mede a variabilidade de Y.

Passo 5

Estimativa dos coeficientes da regressão linear simples \hat{Y}= \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X.
As fórmulas que usamos:
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}.
Substituindo os valores:
\hat{\beta}_1=\frac{-1{,}511}{1{,}68}\approx -0{,}8994,
\hat{\beta}_0=0{,}68625-(-0{,}8994)(1{,}3)\approx 0{,}68625+1{,}169226\approx 1{,}85548.
Portanto a equação ajustada é
\hat{Y}=1{,}85548 - 0{,}89940\,X.
Didática: a inclinação \hat{\beta}_1 diz quanto a variável dependente Y muda, em média, quando X aumenta em uma unidade. A intercepto \hat{\beta}_0 é o valor previsto de Y quando X=0 (atenção: só faz sentido interpretar bem quando X=0 está no intervalo plausível).

Passo 6

Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson r. Fórmula:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.
Substituindo:
r=\frac{-1{,}511}{\sqrt{1{,}68\cdot 1{,}6156625}}=\frac{-1{,}511}{\sqrt{2{,}714322}}\approx\frac{-1{,}511}{1{,}64752}\approx -0{,}9173.
Interpretação didática: r varia entre -1 e 1. Aqui r\approx -0{,}9173 indica uma correlação linear negativa forte entre teor de alumínio e produtividade: em geral, quanto maior X, menor Y.

Passo 7

Cálculo do coeficiente de determinação R^{2} e interpretação:
R^{2}=r^{2}\approx (-0{,}9173)^{2}\approx 0{,}8414.
Interpretação didática: cerca de 84{,}14\% da variação total observada em Y é explicada pela variação linear em X segundo este modelo. O restante ( \approx 15{,}86\%) é variação não explicada (erros, outros fatores, ruído, não linearidades).

Passo 8

Previsão da produtividade para X=0,9. Usamos a equação ajustada:
\hat{Y}(0{,}9)=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1\cdot 0{,}9 =1{,}85548-0{,}89940\cdot 0{,}9.
Cálculo:
\hat{Y}(0{,}9)\approx 1{,}85548-0{,}80946=1{,}04602\\ \text{t/ha}.
Comentário prático: esta é uma previsão pontual; para avaliar a precisão dessa previsão seria necessário um intervalo de confiança, mas a estimativa pontual é \approx 1{,}046 t/ha.

Resposta

a) Diagrama de dispersão: pontos (0{,}6,1{,}47),\,(0{,}8,1{,}23),\ldots,(2{,}0,0{,}05) (tendência negativa); coeficiente de correlação r\approx -0{,}9173.
b) Equação da regressão: \hat{Y}=1{,}85548 - 0{,}89940\,X.
c) Interpretação: coeficiente angular \hat{\beta}_1\approx -0{,}8994 significa que, em média, a produtividade diminui cerca de 0{,}8994 t/ha para cada aumento de 1 unidade de X (mE/100 cc); a constante \hat{\beta}_0\approx 1{,}8555 é o valor previsto de Y quando X=0 (interpretação prática limitada se X=0 não for um caso real).
d) Coeficiente de determinação R^{2}\approx 0{,}8414 (ou 84{,}14\%); isto indica que aproximadamente 84{,}14\% da variabilidade de Y é explicada pela variação linear em X.
e) Previsão para X=0{,}9: \hat{Y}(0{,}9)\approx 1{,}04602\\ \text{t/ha}.

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