Na companhia A, a média dos salários é 10.000 unidades e o 3^{\circ} quartil é 5.000 .
a) Se você se apresentasse como candidato a funcionário nessa firma e se o seu salário fosse escolhido ao acaso entre todos os possíveis salários, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos que 5.000 unidades?
b) Suponha que na companhia B a média dos salários seja 7.000 unidades, a variância praticamente zero e o salário também seja escolhido ao acaso. Em qual companhia você se apresentaria para procurar emprego?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
  • Dados fornecidos (para a companhia A):
    • A média dos salários é 10\,000 unidades. Ou seja, \mathbb{E}[X_A]=10\,000, onde X_A é a variável aleatória “salário na companhia A”.
    • O 3^{\circ} quartil é 5\,000. Ou seja, o terceiro quartil Q_3 (o percentil 75\%) vale 5\,000. Em termos de probabilidade: P(X_A \le 5\,000)=0{,}75 (ou, interpretando de forma prática, pelo menos 75\% dos salários são \le 5\,000).
  • Perguntas:
    a) Se um salário for escolhido ao acaso entre os possíveis na companhia A, o que é mais provável: ganhar mais ou ganhar menos que 5\,000 unidades?
    b) Na companhia B: a média é 7\,000 unidades e a variância é praticamente zero. Em qual companhia eu me apresentaria para procurar emprego? (ou seja, qual eu recomendo, com justificativa).

Passo 2

Entender bem o que é um quartil e o que ele implica probabilisticamente.
  • Definição didática e simples: o 3^{\circ} quartil (ou percentil 75\%) é o valor tal que 75\% da população ganha esse valor ou menos, e 25\% ganha esse valor ou mais. Em notação probabilística, para uma variável X, Q_3=\text{o valor }q\text{ tal que }P(X\le q)=0{,}75.
  • Aplicando ao enunciado: como Q_3=5\,000, temos P(X_A \le 5\,000)=0{,}75,\qquad P(X_A>5\,000)=0{,}25.
  • Interpretação direta: se pegar um salário aleatoriamente em A, a chance de que ele seja \le 5\,000 é 75\%; a chance de ser >5\,000 é 25\%. Portanto, é mais provável ganhar menos (ou igual) que 5\,000.

Passo 3

Explicar por que a média pode ser 10\,000 mesmo com Q_3=5\,000 — isso às vezes confunde muito.
  • Conceito de média: \mathbb{E}[X] é a média aritmética dos salários. A média é sensível a valores extremos (outliers): alguns salários muito altos podem puxar a média para cima mesmo que a maioria ganhe pouco.
  • Contraste com mediana/quartil: quantis (como medianas e quartis) descrevem posições na distribuição, não são afetados da mesma forma por valores extremos.
  • Exemplo numérico simples e concreto (para ver que isso é perfeitamente possível):
    • Considere uma empresa com 100 funcionários: 75 deles ganham 5\,000 e 25 ganham 25\,000.
    • A média é \frac{75\cdot 5\,000 + 25\cdot 25\,000}{100}=\frac{375\,000+625\,000}{100}=10\,000.
    • Aqui Q_3=5\,000 (o salário de 75\% é \le 5\,000) e ao mesmo tempo a média é 10\,000. Conclui-se que ter média maior que o 3^{\circ} quartil é compatível com uma distribuição muito assimétrica (muitos salários baixos e alguns altos).
  • Moral prática para a prova: média e quartis contam coisas diferentes — média = “valor médio, sensível a extremos”; quartil = “posição na distribuição, conta quantos estão abaixo”.

Passo 4

Responder (a) de forma objetiva e justificando passo a passo.
  • Do passo 2 temos diretamente: P(X_A \le 5\,000)=0{,}75\quad\text{e}\quad P(X_A>5\,000)=0{,}25.
  • Portanto, se um salário é escolhido ao acaso em A, é mais provável ganhar menos (ou igual) que 5\,000 do que ganhar mais que 5\,000. Conclusão: ganhar menos que 5\,000 é mais provável.

Passo 5

Discutir variância, o que significa “variância praticamente zero”, e comparar as duas companhias para responder (b).
  • Definição intuitiva de variância: a variância \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2] mede a dispersão dos salários em torno da média. “Variância praticamente zero” significa que quase todos os salários estão muito próximos da média — na prática, todos ganham cerca de 7\,000.
  • Consequências práticas:
    • Companhia B: \mathbb{E}[X_B]=7\,000 e \operatorname{Var}(X_B)\approx 0 \Rightarrow quase toda pessoa ganha \approx 7\,000 (alto grau de previsibilidade/estabilidade).
    • Companhia A: \mathbb{E}[X_A]=10\,000 (maior esperança matemática), mas Q_3=5\,000 indica que pelo menos 75\% dos funcionários ganham \le 5\,000. Assim, a maior parte recebe menos que 7\,000; usando a informação de Q_3, P(X_A<7\,000)\ge P(X_A\le 5\,000)=0{,}75,logo P(X_A\ge 7\,000)\le 0{,}25. Ou seja, na melhor das hipóteses apenas 25\% dos empregados recebem 7\,000 ou mais (pode ser menos se alguns que ficam no top 25\% ganham entre 5\,000 e 7\,000).
  • Interpretação para decisão:
    • Se a prioridade é maximizar o salário esperado (esperança matemática), a companhia A é melhor porque \mathbb{E}[X_A]=10\,000>\mathbb{E}[X_B]=7\,000.
    • Se a prioridade é segurança/estabilidade (evitar o risco de receber muito menos), a companhia B é melhor porque quase certamente se receberá 7\,000, enquanto em A há pelo menos 75\% de chance de receber \le 5\,000 (muito abaixo de 7\,000).
  • Minha recomendação prática (pessoal, e explicada): eu me apresentaria à companhia B se quisesse segurança e ter rendimento previsível; escolheria A apenas se estivesse disposto a “arriscar” (pequena chance de ganhar muito mais) ou se tivesse informação que me colocaria entre os poucos bem pagos. Para um candidato que é escolhido “ao acaso” sem mais informação, B é a escolha razoável e conservadora.

Resposta

a) Mais provável ganhar menos (ou igual) que 5\,000 unidades.
b) Companhia B (por oferecer 7\,000 com variância praticamente zero — maior estabilidade).

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