O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo.
Faixa salarial
Frequência relativa
0,25
0,40
0,20
0,15
(a) Esboce o histograma correspondente. Comente o gráfico obtido.
(b) Calcule a média, a variância e o desvio padrão.
(c) Calcule o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil.
(d) Se for concedido um aumento de
para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta.
(e) Se for concedido um acréscimo de dois salários mínimos para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta.
| Faixa salarial | Frequência relativa |
|
|
0,25 |
|
|
0,40 |
|
|
0,20 |
|
|
0,15 |
(b) Calcule a média, a variância e o desvio padrão.
(c) Calcule o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil.
(d) Se for concedido um aumento de
(e) Se for concedido um acréscimo de dois salários mínimos para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados extraídos do enunciado:
- Número total de funcionários:
. - Distribuição por faixa (frequência relativa):
- Faixa
: frequência relativa . - Faixa
: frequência relativa . - Faixa
: frequência relativa . - Faixa
: frequência relativa .
- Faixa
- Conferência:
, ok.
O enunciado pede:
(a) esboçar o histograma correspondente e comentar o gráfico;
(b) calcular média, variância e desvio padrão;
(c) calcular quartil, mediana e
quartil;
(d) analisar efeito de aumento de (multiplicar todos os salários por 2) sobre média e variância;
(e) analisar efeito de acréscimo de 2 salários mínimos a todos sobre média e variância.
(a) esboçar o histograma correspondente e comentar o gráfico;
(b) calcular média, variância e desvio padrão;
(c) calcular
(d) analisar efeito de aumento de
(e) analisar efeito de acréscimo de 2 salários mínimos a todos sobre média e variância.
Passo 2
Preparar contagens absolutas e medidas úteis para os cálculos (peguei as frequências relativas do enunciado).
- Converter frequências relativas em frequências absolutas: multiplicar por
. - Faixa
: pessoas. - Faixa
: pessoas. - Faixa
: pessoas. - Faixa
: pessoas.
- Faixa
- Verificar soma:
, ok. - Calcular pontos médios (\emph{classe representativa}) de cada intervalo (usados para aproximação de média e variância):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Anotar larguras (comprimento) de cada classe:
-
, , , .
-
Passo 3
Esboço do histograma e comentário (parte (a)).
- Para construir o histograma com classes de larguras diferentes, o importante é que a área de cada barra seja proporcional à frequência da classe. Uma forma prática é usar a densidade (altura) dada por
. - Calcular alturas (densidades):
- Faixa
: altura . - Faixa
: altura . - Faixa
: altura . - Faixa
: altura .
- Faixa
- Como esboçar: no eixo horizontal marcar de 0 a 10; desenhar 4 retângulos com bases correspondentes às classes e alturas conforme acima.
- Comentário do gráfico: a maior área (maior frequência) está na faixa
(altura mais alta entre as faixas de mesma largura), há boa concentração de salários entre 2 e 4 salários mínimos; a cauda estende-se para a direita até 10, sendo a última classe mais larga mas com baixa densidade — a distribuição é assimétrica à direita (mais massa concentrada em valores menores, “cauda” para salários maiores).
Passo 4
Cálculo da média (parte (b)) usando dados agrupados.
- Fórmula para média aproximada com classes:
, onde é a frequência absoluta da classe e é o ponto médio da classe . - Substituindo:
Calcular termo a termo: Soma: - Média:
- Interpretação: salário médio aproximado
salários mínimos.
Passo 5
Cálculo da variância (parte (b)), explicando fórmula e passos.
- Para a população inteira (aqui usamos todos os
funcionários), a variância populacional aproximada a partir de dados agrupados pode ser obtida por onde é o quadrado do ponto médio da classe . - Calcular
: Termos: Soma: - Então
Calcular:
- A unidade é
.
Passo 6
Cálculo do desvio padrão (parte (b)).
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
- Interpretação: desvio típico em torno da média é aproximadamente
salários mínimos.
Passo 7
Cálculo dos quartis (parte (c)), explicando o método de interpolação em dados agrupados.
- Para dados agrupados usamos interpolação linear dentro da classe onde está a observação de posição
, com a fórmula: onde: -
é a porcentagem desejada (por exemplo para ), -
é a posição da observação, -
é o limite inferior da classe que contém a posição , -
é a frequência acumulada antes dessa classe, -
é a frequência absoluta da classe, -
é a largura da classe.
-
- Determinar posições:
- Frequências acumuladas por classe:
- Após
: . - Após
: . - Após
: . - Após
: .
- Após
- Calcular
( ): a posição 30 está exatamente no limite superior da primeira classe. Aplicando a fórmula com , , , : - Calcular mediana (
): a posição 60 está na segunda classe , onde , , , : - Calcular
( ): a posição 90 está na terceira classe , com , , , :
Passo 8
Efeito de um aumento de
(parte (d)): multiplicar todos os salários por
.
- Regra geral: se
com constante , então e . - Aplicando aqui com
: - A média é multiplicada por
: nova média . - A variância é multiplicada por
: nova variância .
- A média é multiplicada por
- Conclusão: há alteração tanto na média quanto na variância (média dobra; variância quadruplica).
Passo 9
Efeito de um acréscimo de
salários mínimos para todos (parte (e)):
.
- Regra geral: se
com constante , então e . - Aplicando:
- Nova média
. - Variância permanece
.
- Nova média
- Conclusão: a média aumenta em
, a variância não se altera.
Resposta
(a) Histograma: retângulos nas classes
,
,
,
com alturas (densidades)
,
,
,
respectivamente. Comentário: maior concentração em
; distribuição assimétrica à direita (cauda para salários maiores).
(b) ;
;
.
(c) ; Mediana
;
.
(d) Aumento de : média dobra (
); variância multiplica por
(
).
(e) Acréscimo de : média aumenta em
(
); variância inalterada (
).
(b)
(c)
(d) Aumento de
(e) Acréscimo de