O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo.
Faixa salarial Frequência relativa
0 \vdash 2 0,25
2 \vdash 4 0,40
4 \vdash 6 0,20
6 \vdash 10 0,15
(a) Esboce o histograma correspondente. Comente o gráfico obtido.
(b) Calcule a média, a variância e o desvio padrão.
(c) Calcule o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil.
(d) Se for concedido um aumento de 100 \% para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta.
(e) Se for concedido um acréscimo de dois salários mínimos para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados extraídos do enunciado:
  • Número total de funcionários: N = 120.
  • Distribuição por faixa (frequência relativa):
    • Faixa [0,2): frequência relativa = 0{,}25.
    • Faixa [2,4): frequência relativa = 0{,}40.
    • Faixa [4,6): frequência relativa = 0{,}20.
    • Faixa [6,10): frequência relativa = 0{,}15.
  • Conferência: 0{,}25+0{,}40+0{,}20+0{,}15=1{,}00, ok.
O enunciado pede:
(a) esboçar o histograma correspondente e comentar o gráfico;
(b) calcular média, variância e desvio padrão;
(c) calcular 1^\circ quartil, mediana e 3^\circ quartil;
(d) analisar efeito de aumento de 100\% (multiplicar todos os salários por 2) sobre média e variância;
(e) analisar efeito de acréscimo de 2 salários mínimos a todos sobre média e variância.

Passo 2

Preparar contagens absolutas e medidas úteis para os cálculos (peguei as frequências relativas do enunciado).
  • Converter frequências relativas em frequências absolutas: multiplicar por N=120.
    • Faixa [0,2): 120\cdot 0{,}25 = 30 pessoas.
    • Faixa [2,4): 120\cdot 0{,}40 = 48 pessoas.
    • Faixa [4,6): 120\cdot 0{,}20 = 24 pessoas.
    • Faixa [6,10): 120\cdot 0{,}15 = 18 pessoas.
  • Verificar soma: 30+48+24+18 = 120, ok.
  • Calcular pontos médios (\emph{classe representativa}) de cada intervalo (usados para aproximação de média e variância):
    • Para [0,2): x_1 = \dfrac{0+2}{2}=1.
    • Para [2,4): x_2 = 3.
    • Para [4,6): x_3 = 5.
    • Para [6,10): x_4 = \dfrac{6+10}{2}=8.
  • Anotar larguras (comprimento) de cada classe:
    • h_1=2, h_2=2, h_3=2, h_4=4.

Passo 3

Esboço do histograma e comentário (parte (a)).
  • Para construir o histograma com classes de larguras diferentes, o importante é que a área de cada barra seja proporcional à frequência da classe. Uma forma prática é usar a densidade (altura) dada por \text{altura} = \dfrac{\text{frequência relativa}}{\text{largura da classe}}ê.
  • Calcular alturas (densidades):
    • Faixa [0,2): altura = \dfrac{0{,}25}{2}=0{,}125.
    • Faixa [2,4): altura = \dfrac{0{,}40}{2}=0{,}20.
    • Faixa [4,6): altura = \dfrac{0{,}20}{2}=0{,}10.
    • Faixa [6,10): altura = \dfrac{0{,}15}{4}=0{,}0375.
  • Como esboçar: no eixo horizontal marcar de 0 a 10; desenhar 4 retângulos com bases correspondentes às classes e alturas conforme acima.
  • Comentário do gráfico: a maior área (maior frequência) está na faixa [2,4) (altura mais alta entre as faixas de mesma largura), há boa concentração de salários entre 2 e 4 salários mínimos; a cauda estende-se para a direita até 10, sendo a última classe mais larga mas com baixa densidade — a distribuição é assimétrica à direita (mais massa concentrada em valores menores, “cauda” para salários maiores).

Passo 4

Cálculo da média (parte (b)) usando dados agrupados.
  • Fórmula para média aproximada com classes: \displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_{i} n_i x_i, onde n_i é a frequência absoluta da classe i e x_i é o ponto médio da classe i.
  • Substituindo: \sum_i n_i x_i = 30\cdot 1 + 48\cdot 3 + 24\cdot 5 + 18\cdot 8.Calcular termo a termo: 30\cdot 1 = 30,\quad 48\cdot 3 = 144,\quad 24\cdot 5 = 120,\quad 18\cdot 8 = 144.Soma: \sum_i n_i x_i = 30+144+120+144 = 438.
  • Média: \bar{x} = \dfrac{438}{120} = 3{,}65.
  • Interpretação: salário médio aproximado =3{,}65 salários mínimos.

Passo 5

Cálculo da variância (parte (b)), explicando fórmula e passos.
  • Para a população inteira (aqui usamos todos os N=120 funcionários), a variância populacional aproximada a partir de dados agrupados pode ser obtida por \sigma^2=\dfrac{1}{N}\sum_{i} n_i x_i^2 - \bar{x}^2,onde x_i^2 é o quadrado do ponto médio da classe i.
  • Calcular \sum_i n_i x_i^2: 30\cdot 1^2 + 48\cdot 3^2 + 24\cdot 5^2 + 18\cdot 8^2.Termos: 30\cdot 1 = 30,\quad 48\cdot 9 = 432,\quad 24\cdot 25 = 600,\quad 18\cdot 64 = 1152.Soma: \sum_i n_i x_i^2 = 30+432+600+1152 = 2214.
  • Então \sigma^2 = \dfrac{2214}{120} - (3{,}65)^2.Calcular: \dfrac{2214}{120} = 18{,}45,\qquad (3{,}65)^2 = 13{,}3225.
\sigma^2 = 18{,}45 - 13{,}3225 = 5{,}1275.
  • A unidade é (\text{salários mínimos})^2áí.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão (parte (b)).
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{5{,}1275}\approx 2{,}264.
  • Interpretação: desvio típico em torno da média é aproximadamente 2{,}26 salários mínimos.

Passo 7

Cálculo dos quartis (parte (c)), explicando o método de interpolação em dados agrupados.
  • Para dados agrupados usamos interpolação linear dentro da classe onde está a observação de posição k, com a fórmula: Q_p = L + \frac{k - F_{\text{anterior}}}{f_{\text{classe}}}\cdot h,onde:
    • p é a porcentagem desejada (por exemplo p=0{,}25 para Q_1),
    • k = N\cdot p é a posição da observação,
    • L é o limite inferior da classe que contém a posição k,
    • F_{\text{anterior}} é a frequência acumulada antes dessa classe,
    • f_{\text{classe}} é a frequência absoluta da classe,
    • h é a largura da classe.
  • Determinar posições: k_{Q1}=120\cdot 0{,}25 = 30,\qquad k_{\text{mediana}} = 120\cdot 0{,}5 = 60,\qquad k_{Q3}=120\cdot 0{,}75 = 90.
  • Frequências acumuladas por classe:
    • Após [0,2): F_1 = 30.
    • Após [2,4): F_2 = 30+48 = 78.
    • Após [4,6): F_3 = 78+24 = 102.
    • Após [6,10): F_4 = 120.
  • Calcular Q_1 ( k=30): a posição 30 está exatamente no limite superior da primeira classe. Aplicando a fórmula com L=0, F_{\text{anterior}}=0, f_{\text{classe}}=30, h=2: Q_1 = 0 + \frac{30-0}{30}\cdot 2 = 2.
  • Calcular mediana ( k=60): a posição 60 está na segunda classe [2,4), onde L=2, F_{\text{anterior}}=30, f_{\text{classe}}=48, h=2: \text{Mediana} = 2 + \frac{60-30}{48}\cdot 2 = 2 + \frac{30}{48}\cdot 2 = 2 + 0{,}625\cdot 2 = 3{,}25.
  • Calcular Q_3 ( k=90): a posição 90 está na terceira classe [4,6), com L=4, F_{\text{anterior}}=78, f_{\text{classe}}=24, h=2: Q_3 = 4 + \frac{90-78}{24}\cdot 2 = 4 + \frac{12}{24}\cdot 2 = 4 + 0{,}5\cdot 2 = 5.

Passo 8

Efeito de um aumento de 100\% (parte (d)): multiplicar todos os salários por 2.
  • Regra geral: se Y = aX com constante a, então \mathbb{E}[Y] = a\mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(Y)=a^2\mathrm{Var}(X).
  • Aplicando aqui com a=2:
    • A média é multiplicada por 2: nova média =2\cdot 3{,}65 = 7{,}30.
    • A variância é multiplicada por 2^2=4: nova variância =4\cdot 5{,}1275 = 20{,}51.
  • Conclusão: há alteração tanto na média quanto na variância (média dobra; variância quadruplica).

Passo 9

Efeito de um acréscimo de 2 salários mínimos para todos (parte (e)): Y = X+2.
  • Regra geral: se Y = X + c com constante c, então \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X] + c e \mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(X).
  • Aplicando:
    • Nova média =3{,}65 + 2 = 5{,}65.
    • Variância permanece =5{,}1275.
  • Conclusão: a média aumenta em 2, a variância não se altera.

Resposta

(a) Histograma: retângulos nas classes [0,2), [2,4), [4,6), [6,10) com alturas (densidades) 0{,}125, 0{,}20, 0{,}10, 0{,}0375 respectivamente. Comentário: maior concentração em [2,4); distribuição assimétrica à direita (cauda para salários maiores).
(b) \bar{x}=3{,}65; \sigma^2=5{,}1275; \sigma\approx 2{,}264.
(c) Q_1=2; Mediana =3{,}25; Q_3=5.
(d) Aumento de 100\%: média dobra ( 7{,}30); variância multiplica por 4 ( 20{,}51).
(e) Acréscimo de 2: média aumenta em 2 ( 5{,}65); variância inalterada ( 5{,}1275).

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