Estudando-se as horas do dia em que um grupo de adolescentes passa em frente ao celular, verificou-se que 20 \% passam até uma hora, 50 \% passam entre uma e duas horas, 20 \% passam entre duas e três horas e o restante entre três e cinco horas. Para a variável em estudo:
a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.
b) Construa o histograma.
c) Calcule a média e a mediana.
d) Calcule a variância e o desvio padrão.
e) Qual o valor do primeiro quartil?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição percentual do tempo diário (em horas) que um grupo de adolescentes passa em frente ao celular e pede várias coisas. As informações fornecidas são:
  • 20\% passam até uma hora.
  • 50\% passam entre uma e duas horas.
  • 20\% passam entre duas e três horas.
  • O restante passa entre três e cinco horas.
Como pedido, as perguntas são:
a) Escrever essas informações na forma de uma tabela de frequências.
b) Construir o histograma.
c) Calcular a média e a mediana.
d) Calcular a variância e o desvio padrão.
e) Calcular o primeiro quartil Q_1.
Observação útil que vou usar (não é pedido, só para organizar): as porcentagens somam 20\%+50\%+20\% = 90\%, logo o restante é 10\% na classe 3\text{–}5 horas.

Passo 2

Montar a tabela de frequências (explicando escolhas e notação). Para trabalhar com números inteiros eu escolho uma população de referência N=100 pessoas — isso facilita transformar porcentagens em frequências absolutas (cada 1% corresponde a 1 pessoa). Em tabelas agrupadas é comum representar cada classe pelo seu ponto médio (marca de classe), que é o valor central da classe e serve como representante dos dados nessa classe.
Cálculo dos pontos médios (marca de classe):
  • Para a classe 0\text{–}1: marca = \dfrac{0+1}{2} = 0,5.
  • Para a classe 1\text{–}2: marca = \dfrac{1+2}{2} = 1,5.
  • Para a classe 2\text{–}3: marca = \dfrac{2+3}{2} = 2,5.
  • Para a classe 3\text{–}5: marca = \dfrac{3+5}{2} = 4,0.
Frequências (convertendo porcentagem em número de indivíduos, com N=100):
  • Classe 0\text{–}1: 20\%\Rightarrow 20 indivíduos, marca 0,5.
  • Classe 1\text{–}2: 50\%\Rightarrow 50 indivíduos, marca 1,5.
  • Classe 2\text{–}3: 20\%\Rightarrow 20 indivíduos, marca 2,5.
  • Classe 3\text{–}5: 10\%\Rightarrow 10 indivíduos, marca 4,0.
Portanto a tabela de frequências (resumida) contém as colunas: intervalo de classe, frequência absoluta f_i, frequência relativa f_i/N (em decimal ou %) e marca de classe x_i. Vou usar essa tabela nos passos seguintes.

Passo 3

Construir o histograma (explicando como tratar classes de larguras diferentes). Importante: o histograma mostra densidade (altura) quando as classes têm larguras diferentes. A altura de cada barra deve ser a frequência relativa dividida pela largura da classe, para que a área da barra represente a proporção da população naquela classe.
Calcular as larguras das classes:
  • Largura da classe 0\text{–}1: h_1=1.
  • Largura da classe 1\text{–}2: h_2=1.
  • Largura da classe 2\text{–}3: h_3=1.
  • Largura da classe 3\text{–}5: h_4=2.
Frequência relativa em decimal:
  • 0\text{–}1:\;0,20.
  • 1\text{–}2:\;0,50.
  • 2\text{–}3:\;0,20.
  • 3\text{–}5:\;0,10.
Densidade (altura) = frequência relativa / largura:
  • 0\text{–}1:\;0,20/1 = 0,20 (por hora).
  • 1\text{–}2:\;0,50/1 = 0,50 (por hora).
  • 2\text{–}3:\;0,20/1 = 0,20 (por hora).
  • 3\text{–}5:\;0,10/2 = 0,05 (por hora).
Como desenhar o histograma:
  • No eixo horizontal (x) marcar horas de 0 a 5.
  • Para cada classe desenhar uma barra com base no intervalo da classe e altura igual à densidade calculada acima.
  • As áreas das barras serão 0,20\cdot1, 0,50\cdot1, 0,20\cdot1, 0,05\cdot2, que correspondem às frequências relativas 0,20, 0,50, 0,20, 0,10 respectivamente (soma = 1).

Passo 4

Calcular a média aritmética para dados agrupados (explicando a fórmula). Para dados agrupados usamos a aproximação com as marcas de classe x_i. A fórmula da média é:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i,
onde f_i é a frequência absoluta da i-ésima classe, x_i é a marca de classe e N=\sum f_i é o total.
Aplicando com N=100 e as marcas calculadas:
  • f_1 x_1 = 20\cdot 0,5 = 10.
  • f_2 x_2 = 50\cdot 1,5 = 75.
  • f_3 x_3 = 20\cdot 2,5 = 50.
  • f_4 x_4 = 10\cdot 4,0 = 40.
Somando: \sum f_i x_i = 10 + 75 + 50 + 40 = 175.
Então
\bar{x}=\frac{175}{100}=1,75\\ \text{horas}.

Passo 5

Calcular a mediana para dados agrupados (explicando a fórmula e cada termo). A mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para classes agrupadas, usamos interpolação linear na classe mediana com a fórmula:
\text{Mediana }M = L + \frac{\frac{N}{2}-F}{f}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • N é o total de observações,
  • F é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f é a frequência da classe mediana,
  • h é a largura da classe mediana.
Determinar a classe mediana: N/2=50. As frequências acumuladas:
  • até 0\text{–}1: 20 (ainda <50),
  • até 1\text{–}2: 20+50=70 (aqui já ultrapassa 50), logo a mediana está na classe 1\text{–}2.
Para essa classe:
  • L=1,
  • F=20 (frequência acumulada antes da classe mediana),
  • f=50,
  • h=1.
Aplicando a fórmula:
M = 1 + \frac{50-20}{50}\cdot 1 = 1 + \frac{30}{50} = 1 + 0,6 = 1,6\\ \text{horas}.

Passo 6

Calcular a variância e o desvio padrão (explicando fórmulas). Para dados agrupados podemos usar a fórmula baseada em E[X^2]:
\sigma^2 = E[X^2] - \bar{x}^2,
onde
E[X^2] = \frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i^2.
Aqui x_i^2 é o quadrado da marca de classe.
Calcular f_i x_i^2 para cada classe:
  • Para x_1=0,5: x_1^2=0,25, então f_1 x_1^2 = 20\cdot 0,25 = 5.
  • Para x_2=1,5: x_2^2=2,25, então f_2 x_2^2 = 50\cdot 2,25 = 112,5.
  • Para x_3=2,5: x_3^2=6,25, então f_3 x_3^2 = 20\cdot 6,25 = 125.
  • Para x_4=4,0: x_4^2=16,0, então f_4 x_4^2 = 10\cdot 16 = 160.
Somando: \sum f_i x_i^2 = 5 + 112,5 + 125 + 160 = 402,5.
Então
E[X^2]=\frac{402,5}{100}=4,025.
Já sabemos \bar{x}=1,75, logo
\sigma^2 = 4,025 - (1,75)^2 = 4,025 - 3,0625 = 0,9625\\ (\text{horas}^2).
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{0,9625}\approx 0,9811\\ \text{horas}.
(Arredondei o desvio padrão para quatro casas decimais; pode usar três casas se preferir: 0,981.)

Passo 7

Calcular o primeiro quartil Q_1 (explicando método). O Q_1 é o valor que deixa 25\% das observações abaixo. Usamos a mesma fórmula de interpolação da mediana trocando N/2 por N/4:
Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4}-F}{f}\,h,
onde os termos têm o mesmo significado que antes, e N/4=25.
Verificar em qual classe cai Q_1: a frequência acumulada após a primeira classe é 20 (ainda menor que 25), após a segunda é 70. Logo Q_1 está na classe 1\text{–}2 (mesma classe da mediana).
Para essa classe:
  • L=1,
  • F=20,
  • f=50,
  • h=1.
Aplicando:
Q_1 = 1 + \frac{25-20}{50}\cdot 1 = 1 + \frac{5}{50} = 1 + 0,1 = 1,1\\ \text{horas}.

Resposta

a) Tabela de frequências (com N=100): 0\text{–}1:\;20\%\;(f=20), marca 0,5; 1\text{–}2:\;50\%\;(f=50), marca 1,5; 2\text{–}3:\;20\%\;(f=20), marca 2,5; 3\text{–}5:\;10\%\;(f=10), marca 4,0.
b) Histograma: barras nos intervalos 0\text{–}1,\,1\text{–}2,\,2\text{–}3,\,3\text{–}5 com alturas (densidade = frequência relativa / largura) 0,20,\;0,50,\;0,20,\;0,05 (respectivamente, em unidades “proporção por hora”).
c) Média \bar{x}=1,75 horas; Mediana M=1,6 horas.
d) Variância \sigma^{2}=0,9625\\ \text{(horas}^2); Desvio padrão \sigma\approx 0,9811 horas.
e) Primeiro quartil Q_1=1,1 horas.

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