Estudando-se as horas do dia em que um grupo de adolescentes passa em frente ao celular, verificou-se que
passam até uma hora,
passam entre uma e duas horas,
passam entre duas e três horas e o restante entre três e cinco horas. Para a variável em estudo:
a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.
b) Construa o histograma.
c) Calcule a média e a mediana.
d) Calcule a variância e o desvio padrão.
e) Qual o valor do primeiro quartil?
a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.
b) Construa o histograma.
c) Calcule a média e a mediana.
d) Calcule a variância e o desvio padrão.
e) Qual o valor do primeiro quartil?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição percentual do tempo diário (em horas) que um grupo de adolescentes passa em frente ao celular e pede várias coisas. As informações fornecidas são:
-
passam até uma hora. -
passam entre uma e duas horas. -
passam entre duas e três horas. - O restante passa entre três e cinco horas.
Como pedido, as perguntas são:
a) Escrever essas informações na forma de uma tabela de frequências.
b) Construir o histograma.
c) Calcular a média e a mediana.
d) Calcular a variância e o desvio padrão.
e) Calcular o primeiro quartil .
a) Escrever essas informações na forma de uma tabela de frequências.
b) Construir o histograma.
c) Calcular a média e a mediana.
d) Calcular a variância e o desvio padrão.
e) Calcular o primeiro quartil
Observação útil que vou usar (não é pedido, só para organizar): as porcentagens somam
, logo o restante é
na classe
horas.
Passo 2
Montar a tabela de frequências (explicando escolhas e notação). Para trabalhar com números inteiros eu escolho uma população de referência
pessoas — isso facilita transformar porcentagens em frequências absolutas (cada 1% corresponde a 1 pessoa). Em tabelas agrupadas é comum representar cada classe pelo seu ponto médio (marca de classe), que é o valor central da classe e serve como representante dos dados nessa classe.
Cálculo dos pontos médios (marca de classe):
- Para a classe
: marca . - Para a classe
: marca . - Para a classe
: marca . - Para a classe
: marca .
Frequências (convertendo porcentagem em número de indivíduos, com
):
- Classe
: indivíduos, marca . - Classe
: indivíduos, marca . - Classe
: indivíduos, marca . - Classe
: indivíduos, marca .
Portanto a tabela de frequências (resumida) contém as colunas: intervalo de classe, frequência absoluta
, frequência relativa
(em decimal ou %) e marca de classe
. Vou usar essa tabela nos passos seguintes.
Passo 3
Construir o histograma (explicando como tratar classes de larguras diferentes). Importante: o histograma mostra densidade (altura) quando as classes têm larguras diferentes. A altura de cada barra deve ser a frequência relativa dividida pela largura da classe, para que a área da barra represente a proporção da população naquela classe.
Calcular as larguras das classes:
- Largura da classe
: . - Largura da classe
: . - Largura da classe
: . - Largura da classe
: .
Frequência relativa em decimal:
-
. -
. -
. -
.
Densidade (altura) = frequência relativa / largura:
-
(por hora). -
(por hora). -
(por hora). -
(por hora).
Como desenhar o histograma:
- No eixo horizontal (x) marcar horas de
a . - Para cada classe desenhar uma barra com base no intervalo da classe e altura igual à densidade calculada acima.
- As áreas das barras serão
, , , , que correspondem às frequências relativas , , , respectivamente (soma = ).
Passo 4
Calcular a média aritmética para dados agrupados (explicando a fórmula). Para dados agrupados usamos a aproximação com as marcas de classe
. A fórmula da média é:
onde
é a frequência absoluta da i-ésima classe,
é a marca de classe e
é o total.
Aplicando com
e as marcas calculadas:
-
. -
. -
. -
.
Somando:
.
Então
Passo 5
Calcular a mediana para dados agrupados (explicando a fórmula e cada termo). A mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para classes agrupadas, usamos interpolação linear na classe mediana com a fórmula:
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total de observações, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a largura da classe mediana.
Determinar a classe mediana:
. As frequências acumuladas:
- até
: (ainda <50), - até
: (aqui já ultrapassa 50), logo a mediana está na classe .
Para essa classe:
-
, -
(frequência acumulada antes da classe mediana), -
, -
.
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Calcular a variância e o desvio padrão (explicando fórmulas). Para dados agrupados podemos usar a fórmula baseada em
:
onde
Aqui
é o quadrado da marca de classe.
Calcular
para cada classe:
- Para
: , então . - Para
: , então . - Para
: , então . - Para
: , então .
Somando:
.
Então
Já sabemos
, logo
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
(Arredondei o desvio padrão para quatro casas decimais; pode usar três casas se preferir:
.)
Passo 7
Calcular o primeiro quartil
(explicando método). O
é o valor que deixa
das observações abaixo. Usamos a mesma fórmula de interpolação da mediana trocando
por
:
onde os termos têm o mesmo significado que antes, e
.
Verificar em qual classe cai
: a frequência acumulada após a primeira classe é
(ainda menor que
), após a segunda é
. Logo
está na classe
(mesma classe da mediana).
Para essa classe:
-
, -
, -
, -
.
Aplicando:
Resposta
a) Tabela de frequências (com
):
marca
;
marca
;
marca
;
marca
.
b) Histograma: barras nos intervalos
com alturas (densidade = frequência relativa / largura)
(respectivamente, em unidades “proporção por hora”).
c) Média
horas; Mediana
horas.
d) Variância
; Desvio padrão
horas.
e) Primeiro quartil
horas.