Uma companhia de seguros de automóveis determinou que o número médio de pedidos de cobertura é 0,6 no ano. Qual a probabilidade de que o segurado pedirá cobertura (a) 1 vez no ano; (b) mais de 1 vez no ano?

Passo 1

O enunciado diz que o número médio de pedidos de cobertura num ano é 0,6. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o segurado peça cobertura exatamente 1 vez no ano?
(b) Qual a probabilidade de que o segurado peça cobertura mais de 1 vez no ano?
Informações relevantes dadas: média anual \lambda=0,6. Não há outras informações (assumimos que o número de pedidos segue o modelo padrão para contagem de eventos).

Passo 2

Modelo apropriado e por quê: quando contamos o número de ocorrências de um evento raro num intervalo de tempo (aqui: número de pedidos num ano) e só conhecemos a média \lambda, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A variável aleatória
X
representa o número de pedidos no ano. A função de probabilidade da Poisson é dada por
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média (esperança) do número de ocorrências no intervalo (aqui \lambda=0,6);
  • k é o número inteiro não negativo de ocorrências que queremos a probabilidade (por exemplo, k=0,1,2,\dots);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6).
Explicação intuitiva: a fórmula dá a probabilidade de exatamente k eventos ocorrerem quando a média é \lambda. Para obter probabilidade de “mais de 1”, usamos a complementar: P(X>1)=1-P(X\le 1).

Passo 3

Cálculo de P(X=1). Usamos a fórmula com \lambda=0,6 e k=1:
P(X=1)=\frac{e^{-0,6}\,(0,6)^{1}}{1!}.
Aqui 1!=1, então
P(X=1)=e^{-0,6}\cdot 0,6.
Agora aproximamos e^{-0,6}. Uma boa aproximação é
e^{-0,6}\approx 0,5488116361.
Multiplicando:
P(X=1)\approx 0,5488116361\cdot 0,6 \approx 0,3292869817.
Arredondando de forma prática para a prova (4 casas decimais, por exemplo):
P(X=1)\approx 0,3293.

Passo 4

Cálculo de P(X>1). Usamos a complementar:
P(X>1)=1-P(X\le 1)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big).
Primeiro calcule P(X=0) pela fórmula com k=0:
P(X=0)=\frac{e^{-0,6}\,(0,6)^{0}}{0!}=e^{-0,6}\cdot 1 = e^{-0,6}.
Usando a aproximação de antes:
P(X=0)\approx 0,5488116361 \approx 0,5488.
Somando P(X=0) e P(X=1):
P(X=0)+P(X=1)\approx 0,5488116361+0,3292869817 \approx 0,8780986178.
Então
P(X>1)=1-0,8780986178\approx 0,1219013822.
Arredondando para 4 casas decimais:
P(X>1)\approx 0,1219.

Passo 5

Interpretação final e dica prática: com média pequena ( \lambda=0,6) é mais provável não haver pedido ou haver só um pedido; a chance de mais de um pedido é relativamente pequena ( \approx 12{,}19\%). Em prova, memorize a fórmula da Poisson e faça P(X>k) por complementar 1-P(X\le k) quando for mais conveniente calcular P(X\le k).

Resposta

(a) P(X=1)\approx 0,3293
(b) P(X>1)\approx 0,1219

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