Há 10 cartas de um baralho sobre uma mesa e 2 delas são reis. Se 5 cartas forem escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que 2 delas sejam reis?

Passo 1

O enunciado diz que há 10 cartas sobre a mesa e que exatamente 2 dessas são reis. Escolhem-se 5 cartas ao acaso (sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de que, entre as 5 cartas escolhidas, exatamente 2 sejam reis?
Informações relevantes fornecidas:
\bullet Número total de cartas: 10.
\bullet Número de cartas que são reis: 2.
\bullet Número de cartas que não são reis: 10-2=8.
\bullet Número de cartas escolhidas: 5.
Pedido do problema: calcular a probabilidade de obter exatamente 2 reis entre as 5 cartas escolhidas.

Passo 2

Ideia de contagem (sem resolver ainda): para encontrar a probabilidade usamos a razão
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de escolhas favoráveis}}{\text{número de escolhas possíveis (total)}}.úáúí
Explicando: cada “escolha” é um subconjunto de 5 cartas entre as 10. Todas as escolhas possíveis são igualmente prováveis porque a seleção é ao acaso. Vamos contar essas duas quantidades com combinatória.

Passo 3

Contando o total de escolhas possíveis: o número de maneiras de escolher 5 cartas entre 10 (sem ordem) é dado pelo coeficiente binomial
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}.
Aqui \,n! (fatorial) significa o produto n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1. Esse \binom{10}{5} conta quantos subconjuntos de tamanho 5 existem em um conjunto de 10 elementos. Em seguida vamos calcular esse valor numericamente.

Passo 4

Contando as escolhas favoráveis (exatamente 2 reis): para que as 5 cartas contenham exatamente 2 reis, precisamos escolher os 2 reis (há \binom{2}{2} maneiras de escolher os reis) e escolher os 3 restantes entre as 8 cartas que não são reis (há \binom{8}{3} maneiras). Como as escolhas são independentes, o número total de escolhas favoráveis é o produto:
\binom{2}{2}\cdot\binom{8}{3}.
Explicando os símbolos: \binom{2}{2} é o número de maneiras de escolher 2 reis entre os 2 disponíveis; \binom{8}{3} é o número de maneiras de escolher 3 cartas não-reis entre as 8 disponíveis.

Passo 5

Calculemos os coeficientes binomiais em termos de multiplicação para ficar bem claro:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=252.
\binom{2}{2}=1\quad(\text{há só uma forma de escolher ambos os reis}).áó
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Portanto o número de escolhas favoráveis é
1\cdot56=56.

Passo 6

Agora formamos a razão favorável/total:
\text{probabilidade}=\frac{56}{252}.
Este é o resultado obtido por contagem. Para usar na prova, convém simplificar essa fração (vou deixar a simplificação final na seção de resposta).

Resposta

\dfrac{2}{9}

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