Há 10 cartas de um baralho sobre uma mesa e 2 delas são reis. Se 5 cartas forem escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que 2 delas sejam reis?
Passo 1
O enunciado diz que há 10 cartas sobre a mesa e que exatamente 2 dessas são reis. Escolhem-se 5 cartas ao acaso (sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de que, entre as 5 cartas escolhidas, exatamente 2 sejam reis?
Informações relevantes fornecidas:
Número total de cartas:
.
Número de cartas que são reis:
.
Número de cartas que não são reis:
.
Número de cartas escolhidas:
.
Pedido do problema: calcular a probabilidade de obter exatamente reis entre as
cartas escolhidas.
Informações relevantes fornecidas:
Pedido do problema: calcular a probabilidade de obter exatamente
Passo 2
Ideia de contagem (sem resolver ainda): para encontrar a probabilidade usamos a razão
Explicando: cada “escolha” é um subconjunto de
cartas entre as
. Todas as escolhas possíveis são igualmente prováveis porque a seleção é ao acaso. Vamos contar essas duas quantidades com combinatória.
Passo 3
Contando o total de escolhas possíveis: o número de maneiras de escolher
cartas entre
(sem ordem) é dado pelo coeficiente binomial
Aqui
(fatorial) significa o produto
. Esse
conta quantos subconjuntos de tamanho
existem em um conjunto de
elementos. Em seguida vamos calcular esse valor numericamente.
Passo 4
Contando as escolhas favoráveis (exatamente
reis): para que as
cartas contenham exatamente
reis, precisamos escolher os
reis (há
maneiras de escolher os reis) e escolher os
restantes entre as
cartas que não são reis (há
maneiras). Como as escolhas são independentes, o número total de escolhas favoráveis é o produto:
Explicando os símbolos:
é o número de maneiras de escolher 2 reis entre os 2 disponíveis;
é o número de maneiras de escolher 3 cartas não-reis entre as 8 disponíveis.
Passo 5
Calculemos os coeficientes binomiais em termos de multiplicação para ficar bem claro:
Portanto o número de escolhas favoráveis é
Passo 6
Agora formamos a razão favorável/total:
Este é o resultado obtido por contagem. Para usar na prova, convém simplificar essa fração (vou deixar a simplificação final na seção de resposta).