O senado possui 100 senadores. Suponha que há 54 do lado do governo e 46 na oposição.
a. Se uma comissão de 15 é selecionada ao acaso, qual o número esperado de governistas nesta comissão?
b. Qual a variância do número de governistas?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a composição, escolhida ao acaso, de uma comissão de 15 senadores:
  • (a) o número esperado de governistas nesta comissão;
  • (b) a variância do número de governistas nesta comissão.
Informações fornecidas:
N=100 \quad(\text{total de senadores}),\qquad K=54 \quad(\text{número de governistas}),\qquad n=15 \quad(\text{tamanho da comissão}).úã

Passo 2

Como a comissão é selecionada ao acaso sem reposição, o número de governistas [X) na comissão segue a distribuição hipergeométrica. Antes de fazer contas, vou explicar um jeito muito prático e didático de obter esperança e variância usando indicadoras — isso funciona bem em prova:
Defina, para i=1,\dots,n, a variável indicadora
X_i = \begin{cases} 1, & \text{se o \(i-ésimo lugar sorteado for um governista},\[4pt] 0, & caso contrário. \end{cases}]
Então o total de governistas na comissão é
X = \sum_{i=1}^{n} X_i.
Essa decomposição é útil porque a expectativa de uma soma é soma das expectativas (linearidade da esperança) e a variância de X pode ser obtida pelos termos \operatorname{Var}(X_i) e as covariâncias \operatorname{Cov}(X_i,X_j).]

Passo 3

Cálculo da esperança usando as indicadoras.
Para qualquer i, a probabilidade de que o i-ésimo sorteado seja governista é a mesma (simetria do sorteio sem reposição):
\mathbb{P}(X_i=1)=\frac{K}{N}.
Portanto
\mathbb{E}[X_i]=\frac{K}{N}.
Pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_i]=n\cdot\frac{K}{N}.
Agora substituímos os números dados:
\mathbb{E}[X]=15\cdot\frac{54}{100}.
Efetuando a multiplicação:
15\cdot\frac{54}{100}=\frac{810}{100}=8,1.
Logo o número esperado de governistas na comissão é \,8,1.

Passo 4

Derivação da fórmula da variância (didática e passo a passo).
Começamos escrevendo a variância do somatório:
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\neq j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
Como todas as X_i são idênticas em distribuição, \operatorname{Var}(X_i)=\operatorname{Var}(X_1) e todas as covariâncias para i\neq j têm o mesmo valor \operatorname{Cov}(X_1,X_2). Assim
\operatorname{Var}(X)=n\operatorname{Var}(X_1)+n(n-1)\operatorname{Cov}(X_1,X_2).
Agora calculamos \operatorname{Var}(X_1) e \operatorname{Cov}(X_1,X_2).
Para a variância de uma indicadora:
\operatorname{Var}(X_1)=\mathbb{E}[X_1^2]-\mathbb{E}[X_1]^2=\mathbb{E}[X_1]-\left(\frac{K}{N}\right)^2 =\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right).
Ou seja, definindo p=\dfrac{K}{N}, temos \operatorname{Var}(X_1)=p(1-p).
Para a covariância, primeiro a probabilidade de que tanto X_1=1 quanto X_2=1 (ou seja, os dois primeiros sorteados sejam governistas) é
\mathbb{P}(X_1=1, X_2=1)=\frac{K}{N}\cdot\frac{K-1}{N-1}=\frac{K(K-1)}{N(N-1)}.
Logo
\mathbb{E}[X_1X_2]=\frac{K(K-1)}{N(N-1)}.
A covariância é
\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=\mathbb{E}[X_1X_2]-\mathbb{E}[X_1]\mathbb{E}[X_2] =\frac{K(K-1)}{N(N-1)}-\left(\frac{K}{N}\right)^2.
Fazendo álgebra (vou simplificar passo a passo) obtemos
\operatorname{Cov}(X_1,X_2) =\frac{K}{N}\left(\frac{K-1}{N-1}-\frac{K}{N}\right) =\frac{K}{N}\left(\frac{K-1}{N-1}-\frac{K}{N}\right).
Colocando em forma mais conhecida, isso simplifica para
\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=-\frac{p(1-p)}{N-1}.
(Se quiser checar: expandindo e reduzindo frações dá esse resultado; a covariância é negativa porque, sem reposição, saber que um sorteio foi governista reduz a chance do outro também ser.)
Substituindo \operatorname{Var}(X_1) e \operatorname{Cov}(X_1,X_2) em \operatorname{Var}(X):
\operatorname{Var}(X)=n\;p(1-p)+n(n-1)\left(-\frac{p(1-p)}{N-1}\right).
Fatorando n\,p(1-p):
\operatorname{Var}(X)=n\,p(1-p)\left[1-\frac{n-1}{N-1}\right] = n\,p(1-p)\cdot\frac{N-n}{N-1}.
Essa é a famosa fórmula da variância da hipergeométrica (produto de n, da variância binomial p(1-p) e do fator de correção finita \dfrac{N-n}{N-1}).

Passo 5

Aplicando a fórmula aos números do problema e fazendo as contas explicitamente.
Primeiro calcule p=\dfrac{K}{N}:
p=\frac{54}{100}=0,54.
Em seguida calcule p(1-p):
p(1-p)=0,54\cdot 0,46=0,2484.
Multiplicando por n=15:
n\,p(1-p)=15\cdot 0,2484=3,726.
O fator de correção finita é
\frac{N-n}{N-1}=\frac{100-15}{100-1}=\frac{85}{99}.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=3,726\cdot\frac{85}{99}.
Para obter uma forma exata em fração, podemos reescrever desde o início:
\operatorname{Var}(X)=15\cdot\frac{54}{100}\cdot\frac{46}{100}\cdot\frac{85}{99}.
Simplificando fatores (mostro uma simplificação):
15\cdot\frac{54}{100}\cdot\frac{46}{100}\cdot\frac{85}{99} =\frac{15\cdot 54\cdot 46\cdot 85}{100\cdot 100\cdot 99}.
Dividindo 15 e 99 por 3 5 e 33; dividindo 54 e 33 por 3 18 e 11. Seguindo a simplificação chegamos à fração
\operatorname{Var}(X)=\frac{3519}{1100}.
Essa fração vale, em forma decimal,
\operatorname{Var}(X)=3,1990909\ldots
Arredondando, \operatorname{Var}(X)\approx 3,1991.

Resposta

(a) \;8,1
(b) \;\dfrac{3519}{1100}\approx 3,1990909

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