O senado possui 100 senadores. Suponha que há 54 do lado do governo e 46 na oposição.
a. Se uma comissão de 15 é selecionada ao acaso, qual o número esperado de governistas nesta comissão?
b. Qual a variância do número de governistas?
a. Se uma comissão de 15 é selecionada ao acaso, qual o número esperado de governistas nesta comissão?
b. Qual a variância do número de governistas?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a composição, escolhida ao acaso, de uma comissão de
senadores:
- (a) o número esperado de governistas nesta comissão;
- (b) a variância do número de governistas nesta comissão.
Informações fornecidas:
Passo 2
Como a comissão é selecionada ao acaso sem reposição, o número de governistas [X) na comissão segue a distribuição hipergeométrica. Antes de fazer contas, vou explicar um jeito muito prático e didático de obter esperança e variância usando indicadoras — isso funciona bem em prova:
Defina, para
, a variável indicadora
-ésimo lugar sorteado for um governista},\[4pt] 0, & caso contrário. \end{cases}]
Então o total de governistas na comissão é
Essa decomposição é útil porque a expectativa de uma soma é soma das expectativas (linearidade da esperança) e a variância de
pode ser obtida pelos termos
e as covariâncias
.]
Passo 3
Cálculo da esperança usando as indicadoras.
Para qualquer
, a probabilidade de que o
-ésimo sorteado seja governista é a mesma (simetria do sorteio sem reposição):
Portanto
Pela linearidade da esperança,
Agora substituímos os números dados:
Efetuando a multiplicação:
Logo o número esperado de governistas na comissão é
.
Passo 4
Derivação da fórmula da variância (didática e passo a passo).
Começamos escrevendo a variância do somatório:
Como todas as
são idênticas em distribuição,
e todas as covariâncias para
têm o mesmo valor
. Assim
Agora calculamos
e
.
Para a variância de uma indicadora:
Ou seja, definindo
, temos
.
Para a covariância, primeiro a probabilidade de que tanto
quanto
(ou seja, os dois primeiros sorteados sejam governistas) é
Logo
A covariância é
Fazendo álgebra (vou simplificar passo a passo) obtemos
Colocando em forma mais conhecida, isso simplifica para
(Se quiser checar: expandindo e reduzindo frações dá esse resultado; a covariância é negativa porque, sem reposição, saber que um sorteio foi governista reduz a chance do outro também ser.)
Substituindo
e
em
:
Fatorando
:
Essa é a famosa fórmula da variância da hipergeométrica (produto de
, da variância binomial
e do fator de correção finita
).
Passo 5
Aplicando a fórmula aos números do problema e fazendo as contas explicitamente.
Primeiro calcule
:
Em seguida calcule
:
Multiplicando por
:
O fator de correção finita é
Agora a variância:
Para obter uma forma exata em fração, podemos reescrever desde o início:
Simplificando fatores (mostro uma simplificação):
Dividindo
e
por
dá
e
; dividindo
e
por
dá
e
. Seguindo a simplificação chegamos à fração
Essa fração vale, em forma decimal,
Arredondando,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)