Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2.000 motoristas de uma cidade a fim de determinar a relação entre o número de acidentes ( y ) em um certo período e a idade em anos ( x ) dos motoristas. Os resultados estão na tabela a seguir:
\mathrm{Y}=0 \mathrm{Y}=1 \mathrm{Y}=2 \mathrm{Y}>2
\mathrm{X}<20 200 50 20 10
20 \leq \mathrm{x}<30 390 120 50 10
30 \leq \mathrm{x}<40 385 80 10 5
\mathrm{X} \geq 40 540 105 20 5
Adotando a frequência relativa observada como probabilidade de cada evento, obtenha:
a) A probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.
b) A probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de 2000 motoristas distribuídos em classes de idade (quatro linhas) e número de acidentes ( Y) em quatro categorias (colunas). A tabela de contagens é:
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Faixa etária} & Y=0 & Y=1 & Y=2 & Y>2 & \text{Total linha} \\\ \hline X<20 & 200 & 50 & 20 & 10 & \text{?} \\\ \hline 20\le x<30 & 390 & 120 & 50 & 10 & \text{?} \\\ \hline 30\le x<40 & 385 & 80 & 10 & 5 & \text{?} \\\ \hline X\ge 40 & 540 & 105 & 20 & 5 & \text{?} \\\ \hline \text{Total coluna} & \text{?} & \text{?} & \text{?} & \text{?} & 2000\\\ \hline \end{array}
As perguntas são:
a) Obter a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.
b) Obter a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

Passo 2

Primeiro vamos completar os totais das linhas e das colunas usando as contagens da tabela (somando os números fornecidos).
Calculemos os totais das linhas:
\begin{aligned} \text{Total (}X<20\text{)} &= 200 + 50 + 20 + 10 = 280,\\[4pt] \text{Total (}20\le x<30\text{)} &= 390 + 120 + 50 + 10 = 570,\\[4pt] \text{Total (}30\le x<40\text{)} &= 385 + 80 + 10 + 5 = 480,\\[4pt] \text{Total (}X\ge 40\text{)} &= 540 + 105 + 20 + 5 = 670. \end{aligned}
Verificação rápida:
280 + 570 + 480 + 670 = 2000,
o que bate com o total amostral.
Agora os totais das colunas (soma por categoria Y):
\begin{aligned} \text{Total (}Y=0\text{)} &= 200 + 390 + 385 + 540 = 1515,\\[4pt] \text{Total (}Y=1\text{)} &= 50 + 120 + 80 + 105 = 355,\\[4pt] \text{Total (}Y=2\text{)} &= 20 + 50 + 10 + 20 = 100,\\[4pt] \text{Total (}Y>2\text{)} &= 10 + 10 + 5 + 5 = 30. \end{aligned}
Confirmação:
1515 + 355 + 100 + 30 = 2000.
Eu usei diretamente as contagens da tabela para calcular esses totais.]

Passo 3

Agora vamos responder (a). O enunciado diz para adotar a frequência relativa observada como probabilidade. Isso significa que a probabilidade de um evento é a contagem do evento dividida pelo total amostral 2000.
Para “exatamente um acidente” a contagem total é a soma na coluna Y=1, que acabamos de calcular: \;355.
Portanto, a probabilidade procurada é
P(Y=1)=\frac{\text{contagem de }Y=1}{\text{total}}=\frac{355}{2000}.
Podemos simplificar a fração dividindo por 5:
\frac{355}{2000}=\frac{71}{400}.
Como decimal (usando vírgula conforme pedido):
\frac{355}{2000}=0,1775.
Interpretação curta: se você pegar um motorista ao acaso da amostra, a frequência observada indica que cerca de 17{,}75\% têm exatamente um acidente.

Passo 4

Agora (b). Essa é uma probabilidade condicional: “a probabilidade de ter exatamente 2 acidentes dado que o motorista tem menos de 20 anos”. A definição de probabilidade condicional é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
No caso de frequências (contagens) com total fixo N, isso vira uma razão de contagens:
P(Y=2 \mid X<20)=\frac{\text{contagem de }(Y=2 \text{ e } X<20)}{\text{contagem de }(X<20)}.
Da tabela, a contagem de Y=2 e X<20 (peguei esse valor diretamente da primeira linha e coluna Y=2) é \;20. A contagem total de X<20 (já calculada) é \;280.
Logo
P(Y=2 \mid X<20)=\frac{20}{280}.
Simplificando a fração dividindo por 20:
\frac{20}{280}=\frac{1}{14}.
Como decimal (vírgula):
\frac{1}{14}\approx 0,0714286.
Interpretação: entre os motoristas com menos de 20 anos, aproximadamente 7{,}14\% tiveram exatamente dois acidentes no período.

Passo 5

Resumo mecânico dos cálculos feitos (para lembrar rápido na prova):
  • Somei as colunas para achar quantos tiveram Y=1 no total: 355. Dividi por 2000 para obter P(Y=1).
  • Para a condicional, usei a fórmula P(A\mid B)=\dfrac{\text{contagem}(A\cap B)}{\text{contagem}(B)} e apliquei com A=\{Y=2\} e B=\{X<20\}.
Força aí — esse tipo de questão é basicamente somar e aplicar definição de probabilidade condicional. Você já fez o essencial!

Resposta

a) \displaystyle \frac{355}{2000}=\frac{71}{400}\approx 0,1775
b) \displaystyle \frac{20}{280}=\frac{1}{14}\approx 0,0714286

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