Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2.000 motoristas de uma cidade a fim de determinar a relação entre o número de acidentes ( y ) em um certo período e a idade em anos ( x ) dos motoristas. Os resultados estão na tabela a seguir:
200
50
20
10
390
120
50
10
385
80
10
5
540
105
20
5
Adotando a frequência relativa observada como probabilidade de cada evento, obtenha:
a) A probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.
b) A probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
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200 | 50 | 20 | 10 |
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390 | 120 | 50 | 10 |
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385 | 80 | 10 | 5 |
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540 | 105 | 20 | 5 |
a) A probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.
b) A probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
motoristas distribuídos em classes de idade (quatro linhas) e número de acidentes (
) em quatro categorias (colunas). A tabela de contagens é:
As perguntas são:
a) Obter a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.
b) Obter a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
a) Obter a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.
b) Obter a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
Passo 2
Primeiro vamos completar os totais das linhas e das colunas usando as contagens da tabela (somando os números fornecidos).
Calculemos os totais das linhas:
Verificação rápida:
o que bate com o total amostral.
Agora os totais das colunas (soma por categoria
):
Confirmação:
Eu usei diretamente as contagens da tabela para calcular esses totais.]
Passo 3
Agora vamos responder (a). O enunciado diz para adotar a frequência relativa observada como probabilidade. Isso significa que a probabilidade de um evento é a contagem do evento dividida pelo total amostral
.
Para “exatamente um acidente” a contagem total é a soma na coluna
, que acabamos de calcular:
.
Portanto, a probabilidade procurada é
Podemos simplificar a fração dividindo por
:
Como decimal (usando vírgula conforme pedido):
Interpretação curta: se você pegar um motorista ao acaso da amostra, a frequência observada indica que cerca de
têm exatamente um acidente.
Passo 4
Agora (b). Essa é uma probabilidade condicional: “a probabilidade de ter exatamente
acidentes dado que o motorista tem menos de
anos”. A definição de probabilidade condicional é
No caso de frequências (contagens) com total fixo
, isso vira uma razão de contagens:
Da tabela, a contagem de
e
(peguei esse valor diretamente da primeira linha e coluna
) é
. A contagem total de
(já calculada) é
.
Logo
Simplificando a fração dividindo por
:
Como decimal (vírgula):
Interpretação: entre os motoristas com menos de
anos, aproximadamente
tiveram exatamente dois acidentes no período.
Passo 5
Resumo mecânico dos cálculos feitos (para lembrar rápido na prova):
- Somei as colunas para achar quantos tiveram
no total: . Dividi por para obter . - Para a condicional, usei a fórmula
e apliquei com e .
Força aí — esse tipo de questão é basicamente somar e aplicar definição de probabilidade condicional. Você já fez o essencial!
Resposta
a)
b)
b)