Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas. Tiramos, sucessivamente, 2 bolas. Determine a probabilidade de:
a) As bolas terem a mesma cor.
b) As bolas terem cores diferentes.

Passo 1

O enunciado diz: numa urna há 3 bolas brancas e 4 bolas pretas, totalizando 7 bolas. Tiramos, sucessivamente, 2 bolas, sem que o enunciado diga o contrário — logo assumimos que é sem reposição (ou seja, a segunda retirada ocorre com uma bola a menos na urna). As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de as duas bolas terem a mesma cor?
b) Qual a probabilidade de as duas bolas terem cores diferentes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de bolas brancas: 3.
  • Número de bolas pretas: 4.
  • Total de bolas: 7.
  • Retiradas: 2, sucessivas, sem reposição.

Passo 2

Escolha do método de resolução: como as retiradas são sucessivas e sem reposição, o método mais direto e básico é usar probabilidade condicional e a regra do produto para eventos sucessivos:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).
Esse método é simples, rápido na prova e pouco propenso a erro. Vou usá-lo para calcular passo a passo. No final eu faço uma verificação alternativa usando contagem combinatória (escolhas) — isso ajuda a checar se deu tudo certo.

Passo 3

Mini-aula sobre conceitos usados:
  • Probabilidade de um evento E é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis, quando todos os resultados são igualmente prováveis.
  • Probabilidade condicional P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer sabendo que A já ocorreu; em retiradas sem reposição, o espaço amostral muda depois do primeiro evento.
  • Regra do produto (multiplicação) para dois eventos sucessivos: P(A\text{ e }B)=P(A)\,P(B\mid A).
Vou aplicar isso a eventos como “primeira bola branca” e “segunda bola branca (dada a primeira branca)”. Sempre escrevo claramente o que cada probabilidade representa.

Passo 4

Calcular a probabilidade de sair duas bolas brancas (evento “WW”):
  • Probabilidade da primeira bola ser branca:
P(\text{1ª branca})=\frac{3}{7},ª
pois há 3 brancas entre 7 bolas.
  • Depois de tirar uma branca, ficam 2 brancas e o total passa a ser 6. Então a probabilidade da segunda ser branca, dado que a primeira foi branca, é
P(\text{2ª branca}\mid \text{1ª branca})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.ªª
  • Aplicando a regra do produto:
P(\text{WW})=P(\text{1ª branca})\,P(\text{2ª branca}\mid \text{1ª branca})=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{7}.ªªª

Passo 5

Calcular a probabilidade de sair duas bolas pretas (evento “PP”):
  • Probabilidade da primeira bola ser preta:
P(\text{1ª preta})=\frac{4}{7},ª
pois há 4 pretas entre 7 bolas.
  • Depois de tirar uma preta, ficam 3 pretas e o total é 6. Então
P(\text{2ª preta}\mid \text{1ª preta})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.ªª
  • Pela regra do produto:
P(\text{PP})=P(\text{1ª preta})\,P(\text{2ª preta}\mid \text{1ª preta})=\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{7}.ªªª

Passo 6

Probabilidade de as duas bolas terem a mesma cor: os eventos “WW” e “PP” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então somamos:
P(\text{mesma cor})=P(\text{WW})+P(\text{PP})=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3}{7}.

Passo 7

Probabilidade de as duas bolas terem cores diferentes. Há duas abordagens equivalentes:
Abordagem A — somando os dois casos distintos:
  • P(\text{1ª branca e 2ª preta})=\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{7}.ªª
  • P(\text{1ª preta e 2ª branca})=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{7}.ªª
    Somando:
P(\text{cores diferentes})=\frac{2}{7}+\frac{2}{7}=\frac{4}{7}.
Abordagem B — usar o complementar (mais curto): como os únicos resultados possíveis são “mesma cor” ou “cores diferentes”,
P(\text{cores diferentes})=1-P(\text{mesma cor})=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}.
As duas abordagens coincidem, ótimo sinal!

Passo 8

Verificação por contagem combinatória (cheque rápido):
  • Número total de maneiras de escolher 2 bolas entre 7: \binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21.
  • Maneiras de escolher 2 brancas: \binom{3}{2}=3.
  • Maneiras de escolher 2 pretas: \binom{4}{2}=6.
  • Favoráveis a “mesma cor”: 3+6=9. Então
P(\text{mesma cor})=\frac{9}{21}=\frac{3}{7},
confirmando o resultado anterior.
  • Favoráveis a “cores diferentes”: escolher uma branca e uma preta: 3\cdot4=12. Então
P(\text{cores diferentes})=\frac{12}{21}=\frac{4}{7},
também confirmado.

Passo 9

Resumo final e incentivo: concluímos os cálculos de duas maneiras (condicional e combinatória) e ambas deram o mesmo resultado — isso é uma boa prática na prova para evitar erros. Você conseguiu! Respira, revise esses passos rápidos na sua cabeça e, se precisar, treine com outro exemplo (por exemplo, trocar números de bolas) para fixar.

Resposta

(a) \dfrac{3}{7}
(b) \dfrac{4}{7}

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