Roberto, administrador recém-formado, envia um currículo para duas empresas A e B, à procura de emprego.
A probabilidade de ser aceito pela empresa A é
e de ser aceito pela B é 20%; a probabilidade de ser aceito por ambas é
.
a) Qual a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas?
b) Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma empresa?
A probabilidade de ser aceito pela empresa A é
a) Qual a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas?
b) Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma empresa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas probabilidades.
Dados:
- Probabilidade de Roberto ser aceito pela empresa
: . - Probabilidade de Roberto ser aceito pela empresa
: . - Probabilidade de ser aceito por ambas as empresas
e : .
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas?
b) Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma empresa?
a) Qual a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas?
b) Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma empresa?
Passo 2
Entendendo o que cada pedido significa (sem resolver ainda):
- “Aceito por ao menos uma das empresas” significa que ocorreu o evento "aceito por
ou por " — isto é a união dos eventos e , que escrevemos como . - “Aceito por exatamente uma empresa” significa que ocorreu
sem ou sem . Em linguagem de conjuntos, isso é . Os dois subconjuntos são disjuntos (não se sobrepõem), então a probabilidade exata é a soma das probabilidades de cada um.
Passo 3
Fórmula para a probabilidade da união (evento “ao menos uma”):
Aqui
é a probabilidade de
acontecer,
a de
acontecer, e
é a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo. A fórmula corrige a dupla contagem da interseção quando somamos
.
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Calcule passo a passo a soma e a subtração:
então
Portanto a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas é
, isto é
.
Passo 5
Agora vamos para “exatamente uma empresa”. Podemos usar duas formas equivalentes; mostro as duas (para fixar bem o conceito).
Forma 1 — via diferenças de conjuntos:
Como esses dois eventos são disjuntos, a probabilidade de exatamente um é
Substituindo os valores:
logo
Passo 6
Forma 2 — fórmula direta (checa com a forma 1):
Substituindo:
Resultado consistente com a forma 1. Em porcentagem,
.
Passo 7
Verificações rápidas de sanidade (para ficar mais confiante):
-
é maior que e menor ou igual a , o que faz sentido. -
é menor que , porque , também consistente.