As companhias de eletricidade geralmente usam medidores calibrados em quilowatt-hora (kWh). Um kWh representa o trabalho realizado por uma máquina desenvolvendo potência igual a 1 kW durante 1 hora. Em uma conta mensal de energia elétrica de uma residência com 3 moradores, observa-se que o valor a pagar para cada kWh consumido é, em média, de \mathrm{R} \ 0,80$.
Imagine que cada um dos 3 moradores toma um banho diário, um de cada vez, num chuveiro elétrico de 6 kW .
a) Se cada banho tem duração de 10 minutos, qual será o custo da energia consumida pelo chuveiro ao final de um mês (30 dias)?
b) Qual deveria ser o tempo de duração dos banhos para que o valor gasto ao fim do mês seja de \mathrm{R} \ 37,00$ ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • \,3 moradores.
    • Cada morador toma um banho diário, um de cada vez (ou seja, \,3 banhos por dia).
    • O chuveiro tem potência \,6\\ \text{kW}.
    • Em (a) cada banho dura \,10\\ \text{minutos}.
    • O mês tem \,30 dias.
    • O custo médio de energia é \,\text{R\$ }0,80 por \,\text{kWh}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual o custo da energia consumida pelo chuveiro ao final de um mês (30 dias) quando cada banho dura \,10\\ \text{minutos}?
    • (b) Para que o valor gasto ao fim do mês seja \,\text{R\$ }37,00, qual deve ser a duração dos banhos (assumindo mesmos número de banhos: \,3 por dia e mês de \,30 dias)?

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
  • O quilowatt-hora ( \,\text{kWh}) é uma unidade de energia equivalente a uma potência de \,1\\ \text{kW} sustentada por \,1\\ \text{hora}.
  • A relação entre energia ( E), potência ( P) e tempo ( t) é
E = P \cdot t,
onde:
  • E é a energia em \,\text{kWh} quando P está em \,\text{kW} e t em \,\text{horas};
  • P é a potência em \,\text{kW};
  • t é o tempo em \,\text{horas}.
  • Para converter minutos em horas, dividir por \,60: se um banho dura t_{\text{min}} minutos então t = \dfrac{t_{\text{min}}}{60}\\ \text{horas}.
  • O custo total ( C) é dado por
C = E_{\text{total}}\cdot c_{\text{unit}},
onde E_{\text{total}} é a energia total consumida em \,\text{kWh} e c_{\text{unit}} é o custo por \,\text{kWh} (aqui \,c_{\text{unit}}=\text{R\$ }0,80).

Passo 3

Energia consumida por um banho de duração conhecida.
  • Tomando a energia de um banho de duração \,10\\ \text{minutos}:
t_{\text{banho}} = \dfrac{10}{60}\\ \text{horas} = \dfrac{1}{6}\\ \text{hora}.
  • Potência do chuveiro: P=6\\ \text{kW}.
  • Energia de um banho:
E_{\text{banho}} = P\cdot t_{\text{banho}} = 6\cdot \dfrac{1}{6} = 1\\ \text{kWh}.
Explicação: é curioso e útil notar que um chuveiro de \,6\\ \text{kW} ligado por \,10\\ \text{min} consome exatamente \,1\\ \text{kWh}, porque \,6\times(10/60)=1.

Passo 4

Energia total por dia e por mês (usando o resultado do passo anterior).
  • \,3 banhos por dia, então energia por dia:
E_{\text{diária}} = 3\cdot E_{\text{banho}} = 3\cdot 1 = 3\\ \text{kWh/dia}.á
  • Para \,30 dias, energia no mês:
E_{\text{mês}} = 30\cdot E_{\text{diária}} = 30\cdot 3 = 90\\ \text{kWh}.êá

Passo 5

Cálculo do custo mensal para o caso (a).
  • Custo por \,\text{kWh}: c_{\text{unit}}=\text{R\$ }0,80.
  • Custo mensal:
C = E_{\text{mês}}\cdot c_{\text{unit}} = 90\cdot 0,80 = 72.ê
  • Interpretando em moeda: \text{R\$ }72{,}00.

Passo 6

Preparar e montar a equação para resolver a parte (b) (ensinar como isolar o tempo).
  • Seja t a duração de cada banho em minutos (o que queremos achar).
  • Converter para horas: \dfrac{t}{60}\\ \text{h}.
  • Energia de um banho:
E_{\text{banho}} = P\cdot \dfrac{t}{60} = 6\cdot \dfrac{t}{60} = \dfrac{t}{10}\\ \text{kWh}.
(Explicação: \,6/60 = 1/10, por isso 6\cdot(t/60)=t/10.)
  • Energia total no mês (3 banhos por dia, 30 dias):
E_{\text{mês}} = 3\cdot 30 \cdot \dfrac{t}{10} = 90\cdot \dfrac{t}{10} = 9t\\ \text{kWh},ê
onde aqui t está em minutos (o resultado 9t tem unidade \,\text{kWh} porque foi obtido corretamente usando a conversão).
  • Custo mensal:
C = E_{\text{mês}}\cdot c_{\text{unit}} = 9t \cdot 0,80 = 7{,}2\,t,ê
onde t está em minutos e C em reais.

Passo 7

Resolver a equação para que o custo seja \text{R\$ }37{,}00.
  • Impor C=37:
7{,}2\,t = 37.
  • Isolando t:
t = \dfrac{37}{7{,}2}.
  • Simplificando a fração para ter uma forma exata racional útil: 7{,}2=\dfrac{36}{5}, então
t = 37\cdot \dfrac{5}{36} = \dfrac{185}{36}\\ \text{minutos}.
  • Valor numérico:
t \approx 5{,}138888\ldots\\ \text{minutos} \approx 5{,}14\\ \text{minutos}.

Passo 8

Converter a resposta de minutos para minutos e segundos (forma prática para usar no chuveiro) e comentar rapidamente.
  • A parte fracionária 0{,}138888\ldots de minuto em segundos:
0{,}138888\ldots \times 60 \approx 8{,}333\ldots\\ \text{segundos}.
  • Portanto o tempo é aproximadamente \,5\\ \text{minutos}\\\ 8{,}33\\ \text{segundos}.
  • Interpretação prática: para gastar cerca de \text{R\$ }37{,}00 no mês com os três banhos diários, cada banho deveria ter cerca de \,5 minutos e alguns segundos — ou seja, bem mais curto que \,10 minutos.

Resposta

a) \text{R\$ }72{,}00
b) t=\dfrac{185}{36}\\ \text{minutos}\approx5{,}14\\ \text{minutos} (aprox. 5\\ \text{min}\\\ 8{,}33\\ \text{s})

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