As companhias de eletricidade geralmente usam medidores calibrados em quilowatt-hora (kWh). Um kWh representa o trabalho realizado por uma máquina desenvolvendo potência igual a 1 kW durante 1 hora. Em uma conta mensal de energia elétrica de uma residência com 3 moradores, observa-se que o valor a pagar para cada kWh consumido é, em média, de
0,80$.
Imagine que cada um dos 3 moradores toma um banho diário, um de cada vez, num chuveiro elétrico de 6 kW .
a) Se cada banho tem duração de 10 minutos, qual será o custo da energia consumida pelo chuveiro ao final de um mês (30 dias)?
b) Qual deveria ser o tempo de duração dos banhos para que o valor gasto ao fim do mês seja de
37,00$ ?
a) Se cada banho tem duração de 10 minutos, qual será o custo da energia consumida pelo chuveiro ao final de um mês (30 dias)?
b) Qual deveria ser o tempo de duração dos banhos para que o valor gasto ao fim do mês seja de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá, sem resolver nada ainda.
-
Dados do enunciado:
- Há
moradores. - Cada morador toma um banho diário, um de cada vez (ou seja,
banhos por dia). - O chuveiro tem potência
. - Em (a) cada banho dura
. - O mês tem
dias. - O custo médio de energia é
por .
- Há
-
Perguntas:
- (a) Qual o custo da energia consumida pelo chuveiro ao final de um mês (30 dias) quando cada banho dura
? - (b) Para que o valor gasto ao fim do mês seja
, qual deve ser a duração dos banhos (assumindo mesmos número de banhos: por dia e mês de dias)?
- (a) Qual o custo da energia consumida pelo chuveiro ao final de um mês (30 dias) quando cada banho dura
Passo 2
Conceito e fórmula básica que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
- O quilowatt-hora (
) é uma unidade de energia equivalente a uma potência de sustentada por . - A relação entre energia (
), potência ( ) e tempo ( ) é
onde:
-
é a energia em quando está em e em ; -
é a potência em ; -
é o tempo em . -
Para converter minutos em horas, dividir por
: se um banho dura minutos então . -
O custo total (
) é dado por
onde
é a energia total consumida em
e
é o custo por
(aqui
).
Passo 3
Energia consumida por um banho de duração conhecida.
- Tomando a energia de um banho de duração
:
- Potência do chuveiro:
. - Energia de um banho:
Explicação: é curioso e útil notar que um chuveiro de
ligado por
consome exatamente
, porque
.
Passo 4
Energia total por dia e por mês (usando o resultado do passo anterior).
- Há
banhos por dia, então energia por dia:
- Para
dias, energia no mês:
Passo 5
Cálculo do custo mensal para o caso (a).
- Custo por
: . - Custo mensal:
- Interpretando em moeda:
.
Passo 6
Preparar e montar a equação para resolver a parte (b) (ensinar como isolar o tempo).
- Seja
a duração de cada banho em minutos (o que queremos achar). - Converter para horas:
. - Energia de um banho:
(Explicação:
, por isso
.)
- Energia total no mês (3 banhos por dia, 30 dias):
onde aqui
está em minutos (o resultado
tem unidade
porque foi obtido corretamente usando a conversão).
- Custo mensal:
onde
está em minutos e
em reais.
Passo 7
Resolver a equação para que o custo seja
.
- Impor
:
- Isolando
:
- Simplificando a fração para ter uma forma exata racional útil:
, então
- Valor numérico:
Passo 8
Converter a resposta de minutos para minutos e segundos (forma prática para usar no chuveiro) e comentar rapidamente.
- A parte fracionária
de minuto em segundos:
- Portanto o tempo é aproximadamente
. - Interpretação prática: para gastar cerca de
no mês com os três banhos diários, cada banho deveria ter cerca de minutos e alguns segundos — ou seja, bem mais curto que minutos.
Resposta
a)
b) (aprox.
)
b)