Encontre a função no tempo correspondente às seguintes funções:
F(s)=\frac{e^{-7 s}}{(s+2)(s+3)} \quad (Valor 2,0 )

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a função no tempo f(t) cuja transformada de Laplace é
F(s)=\frac{e^{-7 s}}{(s+2)(s+3)}.
Informações relevantes dadas:
  • Há um fator e^{-7s} multiplicando uma fração racional.
  • O denominador (s+2)(s+3) indica polos em s=-2 e s=-3.
  • A única pergunta é: qual é f(t) no domínio do tempo?

Passo 2

Ideia central (conceito que vamos usar). Vou explicar dois fatos fundamentais, devagarinho:
  • Transformada inversa básica: a transformada de Laplace de \,e^{-a t}\, (para t\ge0) é \dfrac{1}{s+a}. Ou seja,
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}.
Aqui t é a variável do tempo e s é a variável complexa da transformada.
  • Teorema do deslocamento no tempo (propriedade do degrau): se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então para qualquer a>0
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é o degrau unitário (função que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a). Em palavras: multiplicar por e^{-a s} no domínio de s corresponde a atrasar a função no tempo por a e ativá-la com o degrau em t=a.
Essas duas ideias juntas dizem que, para inverter F(s), eu posso:
  1. retirar o fator e^{-7s} e inverter a fração racional sobrando;
  2. depois aplicar o deslocamento no tempo com a=7.

Passo 3

Calcular a transformada inversa da parte racional sem o atraso. Defino
G(s)=\frac{1}{(s+2)(s+3)}.
Vou decompor G(s) em frações parciais: busco constantes A e B tais que
\frac{1}{(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s+3) obtemos
1 = A(s+3)+B(s+2).
Para achar A e B é prático usar valores que zere um termo:
  • Tomando s=-3:
1 = A(0)+B(-1)\quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Tomando s=-2:
1 = A(1)+B(0)\quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo
G(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{1}{s+3}.

Passo 4

Fazer a transformada inversa da decomposição (sem deslocamento). Usando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t} para t\ge0, temos
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=e^{-2t}-e^{-3t},\qquad t\ge0.
Isto significa que a função cujo Laplace é G(s) é g(t)=e^{-2t}-e^{-3t}, ativada a partir de t=0.

Passo 5

Aplicar o deslocamento no tempo pelo fator e^{-7s}. Pelo teorema do deslocamento (Passo 2), a função correspondente a F(s)=e^{-7s}G(s) é a versão atrasada de g,
f(t)=u(t-7)\,g(t-7).
Substituindo g obtemos a resposta final:
f(t)=u(t-7)\bigl(e^{-2(t-7)}-e^{-3(t-7)}\bigr).
Comentário rápido para checar: se calcular a transformada de Laplace dessa f(t) usando a propriedade de deslocamento, volta-se exatamente a \dfrac{e^{-7s}}{(s+2)(s+3)}, então está consistente.

Resposta

f(t)=u(t-7)\bigl(e^{-2(t-7)}-e^{-3(t-7)}\bigr)

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