Encontre a função no tempo correspondente às seguintes funções:
(Valor 2,0
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a função no tempo
cuja transformada de Laplace é
Informações relevantes dadas:
- Há um fator
multiplicando uma fração racional. - O denominador
indica polos em e . - A única pergunta é: qual é
no domínio do tempo?
Passo 2
Ideia central (conceito que vamos usar). Vou explicar dois fatos fundamentais, devagarinho:
- Transformada inversa básica: a transformada de Laplace de
(para ) é . Ou seja,
Aqui
é a variável do tempo e
é a variável complexa da transformada.
- Teorema do deslocamento no tempo (propriedade do degrau): se
, então para qualquer
onde
é o degrau unitário (função que vale
para
e
para
). Em palavras: multiplicar por
no domínio de
corresponde a atrasar a função no tempo por
e ativá-la com o degrau em
.
Essas duas ideias juntas dizem que, para inverter
, eu posso:
- retirar o fator
e inverter a fração racional sobrando; - depois aplicar o deslocamento no tempo com
.
Passo 3
Calcular a transformada inversa da parte racional sem o atraso. Defino
Vou decompor
em frações parciais: busco constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
e
é prático usar valores que zere um termo:
- Tomando
:
- Tomando
:
Logo
Passo 4
Fazer a transformada inversa da decomposição (sem deslocamento). Usando que
para
, temos
Isto significa que a função cujo Laplace é
é
, ativada a partir de
.
Passo 5
Aplicar o deslocamento no tempo pelo fator
. Pelo teorema do deslocamento (Passo 2), a função correspondente a
é a versão atrasada de
,
Substituindo
obtemos a resposta final:
Comentário rápido para checar: se calcular a transformada de Laplace dessa
usando a propriedade de deslocamento, volta-se exatamente a
, então está consistente.