Comparando sistemas físicos: Na tabela 1 são dadas a energia mecânica de um oscilador harmônico amortecido (O.H.A), a energia eletromagética de um circuito
, as taxas de energias dissipadas, bem como a amplitude e a frequência de amortecimento do
. A partir da expressão de energia e da potência dissipada para o
, deduza a equação diferencial que descreve esse sistema. Utilizando agora uma analogia entre o
e o circuito
escreva: (i) a equação diferencial do circuito
na variável independente
, (ii) a amplitude e a frequência de amortecimento do circuito
em termos de
e
. Dado
.
Table 1: Table 1: Grandezas do
e do circuito
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Grandezas
Circ.
Energia
Potência dissipada
Amplitude
Freq. de amortecimento
Table 1: Table 1: Grandezas do
e do circuito
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| Grandezas |
|
Circ.
|
| Energia |
|
|
| Potência dissipada |
|
|
| Amplitude |
|
|
| Freq. de amortecimento |
|
|
Passo 1
O enunciado nos dá (peguei esses dados da tabela do enunciado):
- Energia do oscilador harmônico amortecido (O.H.A):
, onde . - Potência dissipada no O.H.A:
. - A tabela também mostra para o circuito
a energia e a potência dissipada , com . - A tabela dá a amplitude amortecida do O.H.A:
e a frequência de amortecimento do O.H.A: .
O que o exercício pede:
- A partir da expressão de energia e da potência dissipada para o O.H.A deduzir a equação diferencial que descreve o O.H.A. (ou seja, obter a EDO em
). - Usando a analogia entre O.H.A e circuito
, escrever:
(i) a equação diferencial do circuitona variável independente ;
(ii) a amplitude amortecida e a frequência de amortecimento do circuitoem termos de .
Observação: não preciso de mais informações do enunciado; tudo que usarei foi listado acima.
Passo 2
Começo deduzindo a equação do O.H.A a partir da energia e da potência dissipada. Primeiro explico a ideia física e a técnica matemática: a energia total
depende de
e
. Se eu derivar
em relação ao tempo e igualar essa derivada à potência dissipada conhecida, obtenho uma relação entre
e
que vira a equação do movimento. Essa técnica é simples e direta: derivar
usando regra da cadeia.
Passo 3
Derivo a energia do O.H.A. em função do tempo. A energia dada é
com
. Diferenciando:
Aqui usei que
e
. Em notação mais comum,
e
, então:
Passo 4
Agora uso a informação da tabela de que a potência dissipada é
. Igualando as duas expressões para
:
Assumindo trajetórias gerais onde
pode ser diferente de zero, dividimos por
(essa divisão é válida para obter a equação diferencial que vale para as partes em movimento; a equação final vale por continuidade mesmo quando
):
Substituindo
e
, obtemos a EDO do movimento:
Isso é a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido (forma padrão).
Passo 5
Agora mostro rapidamente como dessa EDO obtemos a decaimento exponencial da amplitude e a frequência amortecida do O.H.A — isso vai servir de modelo para fazer a analogia com o circuito
. A EDO é linear com coeficientes constantes; procuramos soluções da forma
. Substituindo na EDO:
Essa é a equação característica. Suas raízes são
No caso subamortecido (quando
) as raízes são complexas conjugadas e escrevemos
onde
Daí a solução geral subamortecida é
o que mostra amplitude decaindo como
e frequência de oscilação
. Essas expressões coincidem com as fornecidas na tabela.
Passo 6
Agora faço a analogia direta entre O.H.A e o circuito
. Comparando as energias (peguei da tabela):
e comparando as potências dissipadas:
vemos o mapeamento natural de grandezas (analogia energia-dinâmica):
Explicando em palavras: a massa
é análoga à indutância
(ambas armazenam energia cinética/ magnética), a constante elástica
é análoga à
(ambas armazenam energia potencial / elétrica) e o coeficiente de amortecimento
corresponde à resistência
(dissipação).
Passo 7
Usando a analogia, aplico diretamente a EDO do O.H.A trocando as grandezas pelos correspondentes do circuito. A EDO do O.H.A foi
Trocando
, obtenho a EDO do circuito
em
:
Essa é a equação diferencial do circuito série
para a carga
. (Se quiser, diferenciando-a obtemos a forma usual em corrente
:
, e derivando outra vez dá
.)
Passo 8
Agora extraio a amplitude amortecida e a frequência de amortecimento do circuito
exatamente como fiz para o O.H.A, resolvendo a equação característica. A equação característica associada a
é
As raízes são
No regime subamortecido (quando
) as raízes são complexas e podemos escrever
onde a frequência angular amortecida do circuito é
A amplitude (da carga
) decai exponencialmente como
(no mesmo formato do oscilador mecânico, com
no expoente). Portanto a solução subamortecida típica é
Resposta
Amplitude amortecida do
Frequência de amortecimento do