Comparando sistemas físicos: Na tabela 1 são dadas a energia mecânica de um oscilador harmônico amortecido (O.H.A), a energia eletromagética de um circuito L C R, as taxas de energias dissipadas, bem como a amplitude e a frequência de amortecimento do O . H . A. A partir da expressão de energia e da potência dissipada para o O . H . A, deduza a equação diferencial que descreve esse sistema. Utilizando agora uma analogia entre o O . H . A e o circuito L C R escreva: (i) a equação diferencial do circuito L C R na variável independente q, (ii) a amplitude e a frequência de amortecimento do circuito L C R em termos de L, C e R. Dado i=d q / d t.
Table 1: Table 1: Grandezas do O . H . A e do circuito L C R
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Grandezas O . H . A Circ. L C R
Energia \frac{1}{2} k x^{2}+\frac{1}{2} m v^{2} \frac{1}{2 C} q^{2}+\frac{1}{2} L i^{2}
Potência dissipada \frac{d E}{d t}=-b v^{2} \frac{d E}{d t}=-R i^{2}
Amplitude \mathrm{x}_{0} e^{-b t / 2 m} ?
Freq. de amortecimento \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^{2}}{4 m^{2}}} ?

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei esses dados da tabela do enunciado):
  • Energia do oscilador harmônico amortecido (O.H.A): \displaystyle E=\frac{1}{2}k x^{2}+\frac{1}{2}m v^{2}, onde \displaystyle v=\frac{dx}{dt}.
  • Potência dissipada no O.H.A: \displaystyle \frac{dE}{dt}=-b v^{2}.
  • A tabela também mostra para o circuito LCR a energia \displaystyle E=\frac{1}{2C}q^{2}+\frac{1}{2}L i^{2} e a potência dissipada \displaystyle \frac{dE}{dt}=-R i^{2}, com \displaystyle i=\frac{dq}{dt}.
  • A tabela dá a amplitude amortecida do O.H.A: \displaystyle x_{0}e^{-bt/(2m)} e a frequência de amortecimento do O.H.A: \displaystyle \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^{2}}{4m^{2}}}.
O que o exercício pede:
  1. A partir da expressão de energia e da potência dissipada para o O.H.A deduzir a equação diferencial que descreve o O.H.A. (ou seja, obter a EDO em x(t)).
  2. Usando a analogia entre O.H.A e circuito LCR, escrever:
    (i) a equação diferencial do circuito LCR na variável independente \displaystyle q;
    (ii) a amplitude amortecida e a frequência de amortecimento do circuito LCR em termos de \displaystyle L,\;C,\;R.
    Observação: não preciso de mais informações do enunciado; tudo que usarei foi listado acima.

Passo 2

Começo deduzindo a equação do O.H.A a partir da energia e da potência dissipada. Primeiro explico a ideia física e a técnica matemática: a energia total E depende de x(t) e v(t). Se eu derivar E em relação ao tempo e igualar essa derivada à potência dissipada conhecida, obtenho uma relação entre x,\;v e a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}} que vira a equação do movimento. Essa técnica é simples e direta: derivar E usando regra da cadeia.

Passo 3

Derivo a energia do O.H.A. em função do tempo. A energia dada é \displaystyle E=\frac{1}{2}k x^{2}+\frac{1}{2}m v^{2} com \displaystyle v=\frac{dx}{dt}. Diferenciando:
\frac{dE}{dt}=k x\frac{dx}{dt}+m v\frac{dv}{dt}.
Aqui usei que \frac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}k x^{2}\big)=k x\dot x e \frac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}m v^{2}\big)=m v\dot v. Em notação mais comum, \displaystyle \dot x=v e \displaystyle \dot v=a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}, então:
\frac{dE}{dt}=k x v + m v a.

Passo 4

Agora uso a informação da tabela de que a potência dissipada é \displaystyle \frac{dE}{dt}=-b v^{2}. Igualando as duas expressões para \displaystyle \frac{dE}{dt}:
k x v + m v a = -b v^{2}.
Assumindo trajetórias gerais onde v pode ser diferente de zero, dividimos por v (essa divisão é válida para obter a equação diferencial que vale para as partes em movimento; a equação final vale por continuidade mesmo quando v=0):
k x + m a = -b v.
Substituindo a=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} e v=\dfrac{dx}{dt}, obtemos a EDO do movimento:
\boxed{\,m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+k x=0\,.}
Isso é a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido (forma padrão).

Passo 5

Agora mostro rapidamente como dessa EDO obtemos a decaimento exponencial da amplitude e a frequência amortecida do O.H.A — isso vai servir de modelo para fazer a analogia com o circuito LCR. A EDO é linear com coeficientes constantes; procuramos soluções da forma \displaystyle x(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO:
m r^{2}e^{r t}+b r e^{r t}+k e^{r t}=0 \quad\Rightarrow\quad m r^{2}+b r + k = 0.
Essa é a equação característica. Suas raízes são
r = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}.
No caso subamortecido (quando \displaystyle b^{2}<4mk) as raízes são complexas conjugadas e escrevemos
r = -\frac{b}{2m}\pm i\,\omega',
onde
\omega'=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^{2}}{4m^{2}}}.
Daí a solução geral subamortecida é
x(t)=A e^{-bt/(2m)}\cos\big(\omega' t+\varphi\big),
o que mostra amplitude decaindo como \displaystyle e^{-bt/(2m)} e frequência de oscilação \displaystyle \omega'=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^{2}}{4m^{2}}}. Essas expressões coincidem com as fornecidas na tabela.

Passo 6

Agora faço a analogia direta entre O.H.A e o circuito LCR. Comparando as energias (peguei da tabela):
\text{O.H.A: }\frac{1}{2}k x^{2}+\frac{1}{2}m v^{2} \qquad\text{e}\qquad \text{LCR: }\frac{1}{2C}q^{2}+\frac{1}{2}L i^{2},
e comparando as potências dissipadas:
\text{O.H.A: }\frac{dE}{dt}=-b v^{2} \qquad\text{e}\qquad \text{LCR: }\frac{dE}{dt}=-R i^{2},
vemos o mapeamento natural de grandezas (analogia energia-dinâmica):
\boxed{\,x \longleftrightarrow q,\quad v=\dot x \longleftrightarrow i=\dot q,\quad m \longleftrightarrow L,\quad b \longleftrightarrow R,\quad k \longleftrightarrow \dfrac{1}{C}\,.}
Explicando em palavras: a massa \displaystyle m é análoga à indutância \displaystyle L (ambas armazenam energia cinética/ magnética), a constante elástica \displaystyle k é análoga à \displaystyle 1/C (ambas armazenam energia potencial / elétrica) e o coeficiente de amortecimento \displaystyle b corresponde à resistência \displaystyle R (dissipação).

Passo 7

Usando a analogia, aplico diretamente a EDO do O.H.A trocando as grandezas pelos correspondentes do circuito. A EDO do O.H.A foi
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+k x=0.
Trocando \displaystyle m\mapsto L,\; b\mapsto R,\; k\mapsto \dfrac{1}{C},\; x\mapsto q, obtenho a EDO do circuito LCR em \displaystyle q(t):
\boxed{\,L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=0\,.}
Essa é a equação diferencial do circuito série LCR para a carga q(t). (Se quiser, diferenciando-a obtemos a forma usual em corrente \displaystyle i=\dot q: \displaystyle L\dot i+Ri+\frac{1}{C}\int i\,dt=0, e derivando outra vez dá \displaystyle L\ddot i + R\dot i + \frac{1}{C}i=0.)

Passo 8

Agora extraio a amplitude amortecida e a frequência de amortecimento do circuito LCR exatamente como fiz para o O.H.A, resolvendo a equação característica. A equação característica associada a
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=0
é
L r^{2} + R r + \frac{1}{C}=0.
As raízes são
r=\frac{-R\pm\sqrt{R^{2}-4\frac{L}{C}}}{2L}.
No regime subamortecido (quando \displaystyle R^{2}<\frac{4L}{C}) as raízes são complexas e podemos escrever
r=-\frac{R}{2L}\pm i\,\Omega,
onde a frequência angular amortecida do circuito é
\boxed{\,\Omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}\,.}
A amplitude (da carga q) decai exponencialmente como
\boxed{\,q_{0}\,e^{-Rt/(2L)}\,}
(no mesmo formato do oscilador mecânico, com \displaystyle R/(2L) no expoente). Portanto a solução subamortecida típica é
q(t)=Q\,e^{-Rt/(2L)}\cos\big(\Omega t+\varphi\big).

Resposta

m\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\displaystyle\frac{dx}{dt}+k x=0
L\displaystyle\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\displaystyle\frac{dq}{dt}+\dfrac{1}{C}q=0
Amplitude amortecida do LCR: \displaystyle q_{0}e^{-Rt/(2L)}
Frequência de amortecimento do LCR: \displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^{2}}{4L^{2}}}

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