11²) (a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros dois mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda, se o comprimento de onda da luz vale 550 nm , a distância entre as fendas é igual a 0,150 \mathrm{~mm}, e a largura de cada fenda vale 30,0 \mu \mathrm{m} ? (b) Qual a razão entre as intensidades da segunda franja clara e da franja central?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Contar quantas franjas claras (picos de interferência visíveis) aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central.
  2. (b) Calcular a razão entre a intensidade da segunda franja clara e a intensidade da franja central.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\lambda = 550\\ \text{nm} = 550\times10^{-9}\\ \text{m},
d = 0{,}150\\ \text{mm} = 0{,}150\times10^{-3}\\ \text{m} = 150\\ \mu\text{m},
a = 30{,}0\\ \mu\text{m} = 30{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}.
Observações importantes sobre o que é pedido:
  • “Entre os primeiros dois mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central” significa o intervalo angular da máxima envoltória central da fenda única, i.e., entre as duas primeiras mínimas do padrão de difração de fenda única (os mínimos com m=\pm1 na condição de fenda única).
  • “Segunda franja clara” será interpretada como a franja de ordem n=2 (ou n=-2 simetricamente); a franja central é a ordem n=0.

Passo 2

Relembre as fórmulas essenciais (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Condição dos mínimos da difração de uma única fenda (envoltória):
a\sin\theta = m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,\dots
Aqui a é a largura de cada fenda, \theta é o ângulo medido a partir do eixo central, \lambda é o comprimento de onda e m é a ordem do mínimo. O primeiro mínimo de cada lado corresponde a m=\pm1, ou seja \sin\theta=\pm \lambda/a.
  • Condição das máximas de interferência das duas fendas (franjas brilhantes):
d\sin\theta = n\lambda,\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots
Aqui d é a separação entre os centros das fendas e n é a ordem da franja de interferência. A franja central é n=0, as franjas adjacentes são n=\pm1,\pm2,\dots.
  • Intensidade relativa (padrão combinado duas fendas + envelope de fenda única):
\frac{I(\theta)}{I(0)} = \cos^2\!\biggl(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\biggr)\,\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{\!2},
onde
\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
Explicação: o fator \cos^2(\cdot) vem da interferência entre as duas fendas (máximos de interferência quando \cos^2=1), e o fator (\sin\beta/\beta)^2 é a envoltória de difração da fenda única que modula as intensidades. No máximo central \theta=0 temos \cos^2(0)=1 e (\sin\beta/\beta)^2\to1, então I(0) é o pico máximo.

Passo 3

Contagem de franjas claras dentro da envoltória central (parte (a)) — raciocínio:
  • A envoltória central vai de \sin\theta=-\lambda/a até \sin\theta=+\lambda/a (primeiros mínimos de m=\pm1).
  • As franjas de interferência aparecem nas posições \sin\theta = n\lambda/d.
  • Para que uma franja n caiba estritamente entre os mínimos de envoltória, precisamos de
\left|n\frac{\lambda}{d}\right| < \frac{\lambda}{a}\quad\Longrightarrow\quad |n| < \frac{d}{a}.
Isso significa que os valores inteiros n permitidos são n=0,\pm1,\pm2,\dots tais que |n|<d/a.
  • Se \dfrac{d}{a} for um número inteiro, então as franjas com |n|=\dfrac{d}{a} cairiam exatamente nos mínimos da envoltória e, portanto, seriam suprimidas (não aparecem). Se \dfrac{d}{a} não for inteiro, o maior n permitido é o maior inteiro menor que d/a.
Calcule \dfrac{d}{a} com os dados:
\frac{d}{a}=\frac{150\\ \mu\text{m}}{30{,}0\\ \mu\text{m}}=5{,}0.
Portanto \dfrac{d}{a}=5 é exatamente um inteiro. Assim os máximos com |n|=5 coincidem com os mínimos da envoltória e ficam suprimidos. Logo os valores de n visíveis dentro da envoltória central são
n=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,
ou seja 1 (central) mais 4 de cada lado = 9 franjas claras no total dentro da envoltória central.

Passo 4

Cálculo da razão de intensidades pedida na parte (b) — raciocínio:
  • A intensidade relativa de uma franja de ordem n (quando ela não é suprimida pela envoltória) pode ser obtida avaliando a expressão da envoltória no ângulo da franja. Nas posições de máxima de interferência temos \cos^2(\cdot)=1 porque a fase entre as fendas é \pi n e \cos^2(n\pi)=1. Assim
\frac{I_n}{I_0}=\left(\frac{\sin\beta_n}{\beta_n}\right)^{\!2},
onde
\beta_n=\frac{\pi a\sin\theta_n}{\lambda}=\frac{\pi a}{\lambda}\cdot\frac{n\lambda}{d}=\pi n\frac{a}{d}.
Portanto
\frac{I_n}{I_0}=\left(\frac{\sin\!\bigl(\pi n\frac{a}{d}\bigr)}{\pi n\frac{a}{d}}\right)^{\!2}.
  • Para a segunda franja clara tomamos n=2. Calculamos passo a passo com a/d=0{,}2 (pois 30/150=0{,}2):
\pi n\frac{a}{d}=\pi\cdot 2\cdot 0{,}2 = 0{,}4\pi.
Valor numérico:
0{,}4\pi \approx 1{,}256637\\ \text{rad}.
Agora calcule \sin(0{,}4\pi):
\sin(0{,}4\pi)=\sin\!\bigl(1{,}256637\bigr)\approx 0{,}9510565.
Dividindo por \beta_2=1{,}256637:
\frac{\sin\beta_2}{\beta_2}\approx\frac{0{,}9510565}{1{,}256637}\approx 0{,}7578583.
Elevando ao quadrado:
\frac{I_{2}}{I_{0}}\approx (0{,}7578583)^{2}\approx 0{,}574359.
Arredondando com três algarismos significativos (bom para prova): \dfrac{I_{2}}{I_{0}}\approx 0{,}574.

Passo 5

Resumo final dos resultados (pronto para a prova, direto ao ponto):
  • Parte (a): como \dfrac{d}{a}=5 inteiro, as franjas de ordem |n|=5 são suprimidas; portanto as franjas visíveis entre os primeiros mínimos da envoltória são n=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4, totalizando 9 franjas claras.
  • Parte (b): razão de intensidades da segunda franja para a franja central é \dfrac{I_{2}}{I_{0}}\approx 0{,}574.

Resposta

(a) 9 franjas claras.
(b) \dfrac{I_{2}}{I_{0}}\approx 0{,}574.

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